Theorem stoweidlem2 40219

Description: lemma for stoweid 40280: here we prove that the subalgebra of continuous functions, which contains constant functions, is closed under scaling. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem2.1	|- F/ t ph
stoweidlem2.2	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem2.3	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem2.4	|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
stoweidlem2.5	|- ( ph -> E e. RR )
stoweidlem2.6	|- ( ph -> F e. A )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem2	|- ( ph -> ( t e. T |-> ( E x. ( F ` t ) ) ) e. A )

Distinct variable groups:   f, g, t, F   f, E, t   A, f, g   T, f, g, t   ph, f, g   x, t, E   x, A   x, T   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( t)   A( t)   E( g)   F( x)

Proof of Theorem stoweidlem2

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem2.1	. . 3 |- F/ t ph
2		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. T )
3		stoweidlem2.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR )
4	3	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> E e. RR )
5		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( s = t -> E = E )
6	5	cbvmptv 4750	. . . . . . 7 |- ( s e. T |-> E ) = ( t e. T |-> E )
7	6	fvmpt2 6291	. . . . . 6 |- ( ( t e. T /\ E e. RR ) -> ( ( s e. T |-> E ) ` t ) = E )
8	2, 4, 7	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( s e. T |-> E ) ` t ) = E )
9	8	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> E = ( ( s e. T |-> E ) ` t ) )
10	9	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( E x. ( F ` t ) ) = ( ( ( s e. T |-> E ) ` t ) x. ( F ` t ) ) )
11	1, 10	mpteq2da 4743	. 2 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( E x. ( F ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( s e. T |-> E ) ` t ) x. ( F ` t ) ) ) )
12		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( x = E -> x = E )
13	12	mpteq2dv 4745	. . . . . . . 8 |- ( x = E -> ( t e. T |-> x ) = ( t e. T |-> E ) )
14	13	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( x = E -> ( ( t e. T |-> x ) e. A <-> ( t e. T |-> E ) e. A ) )
15	14	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( x = E -> ( ( ph -> ( t e. T |-> x ) e. A ) <-> ( ph -> ( t e. T |-> E ) e. A ) ) )
16		stoweidlem2.3	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
17	16	expcom 451	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> ( ph -> ( t e. T |-> x ) e. A ) )
18	15, 17	vtoclga 3272	. . . . 5 |- ( E e. RR -> ( ph -> ( t e. T |-> E ) e. A ) )
19	3, 18	mpcom 38	. . . 4 |- ( ph -> ( t e. T |-> E ) e. A )
20	6, 19	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> ( s e. T |-> E ) e. A )
21		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( f = ( s e. T |-> E ) -> ( f ` t ) = ( ( s e. T |-> E ) ` t ) )
22	21	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( f = ( s e. T |-> E ) -> ( ( f ` t ) x. ( F ` t ) ) = ( ( ( s e. T |-> E ) ` t ) x. ( F ` t ) ) )
23	22	mpteq2dv 4745	. . . . . 6 |- ( f = ( s e. T |-> E ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( F ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( s e. T |-> E ) ` t ) x. ( F ` t ) ) ) )
24	23	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( f = ( s e. T |-> E ) -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( F ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( ( s e. T |-> E ) ` t ) x. ( F ` t ) ) ) e. A ) )
25	24	imbi2d 330	. . . 4 |- ( f = ( s e. T |-> E ) -> ( ( ph -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( F ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ph -> ( t e. T |-> ( ( ( s e. T |-> E ) ` t ) x. ( F ` t ) ) ) e. A ) ) )
26		stoweidlem2.6	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. A )
27	26	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> F e. A )
28		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = F -> ( g ` t ) = ( F ` t ) )
29	28	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( g = F -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( f ` t ) x. ( F ` t ) ) )
30	29	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . 9 |- ( g = F -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( F ` t ) ) ) )
31	30	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( g = F -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( F ` t ) ) ) e. A ) )
32	31	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( g = F -> ( ( ( ph /\ f e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ f e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( F ` t ) ) ) e. A ) ) )
33		stoweidlem2.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
34	33	3comr 1273	. . . . . . . 8 |- ( ( g e. A /\ ph /\ f e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
35	34	3expib 1268	. . . . . . 7 |- ( g e. A -> ( ( ph /\ f e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) )
36	32, 35	vtoclga 3272	. . . . . 6 |- ( F e. A -> ( ( ph /\ f e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( F ` t ) ) ) e. A ) )
37	27, 36	mpcom 38	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( F ` t ) ) ) e. A )
38	37	expcom 451	. . . 4 |- ( f e. A -> ( ph -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( F ` t ) ) ) e. A ) )
39	25, 38	vtoclga 3272	. . 3 |- ( ( s e. T |-> E ) e. A -> ( ph -> ( t e. T |-> ( ( ( s e. T |-> E ) ` t ) x. ( F ` t ) ) ) e. A ) )
40	20, 39	mpcom 38	. 2 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( ( s e. T |-> E ) ` t ) x. ( F ` t ) ) ) e. A )
41	11, 40	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( E x. ( F ` t ) ) ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   x. cmul 9941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653

This theorem is referenced by:  stoweidlem17  40234