Theorem stoweidlem17 40234

Description: This lemma proves that the function g (as defined in [BrosowskiDeutsh] p. 91, at the end of page 91) belongs to the subalgebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem17.1	|- F/ t ph
stoweidlem17.2	|- ( ph -> N e. NN )
stoweidlem17.3	|- ( ph -> X : ( 0 ... N ) --> A )
stoweidlem17.4	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem17.5	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem17.6	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem17.7	|- ( ph -> E e. RR )
stoweidlem17.8	|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem17	|- ( ph -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A )

Distinct variable groups:   f, g, i, t, E   A, f, g   T, f, g, i, t   f, X, g, i, t   ph, f, g, i   i, N, t   x, t, E   x, A   x, T   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( t)   A( t, i)   N( x, f, g)   X( x)

Proof of Theorem stoweidlem17

Dummy variables m r n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem17.2	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
2	1	nnnn0d 11351	. 2 |- ( ph -> N e. NN0 )
3		nn0uz 11722	. . . . 5 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
4	2, 3	syl6eleq 2711	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
5		eluzfz2 12349	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> N e. ( 0 ... N ) )
6	4, 5	syl 17	. . 3 |- ( ph -> N e. ( 0 ... N ) )
7	6	ancli 574	. 2 |- ( ph -> ( ph /\ N e. ( 0 ... N ) ) )
8		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( n = 0 -> ( n e. ( 0 ... N ) <-> 0 e. ( 0 ... N ) ) )
9	8	anbi2d 740	. . . 4 |- ( n = 0 -> ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) <-> ( ph /\ 0 e. ( 0 ... N ) ) ) )
10		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( n = 0 -> ( 0 ... n ) = ( 0 ... 0 ) )
11	10	sumeq1d 14431	. . . . . 6 |- ( n = 0 -> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
12	11	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( n = 0 -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) )
13	12	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( n = 0 -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) )
14	9, 13	imbi12d 334	. . 3 |- ( n = 0 -> ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ 0 e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) )
15		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( n = m -> ( n e. ( 0 ... N ) <-> m e. ( 0 ... N ) ) )
16	15	anbi2d 740	. . . 4 |- ( n = m -> ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) <-> ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) ) )
17		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( 0 ... n ) = ( 0 ... m ) )
18	17	sumeq1d 14431	. . . . . 6 |- ( n = m -> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
19	18	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( n = m -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) )
20	19	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( n = m -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) )
21	16, 20	imbi12d 334	. . 3 |- ( n = m -> ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) )
22		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( n e. ( 0 ... N ) <-> ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
23	22	anbi2d 740	. . . 4 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) <-> ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) )
24		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( 0 ... n ) = ( 0 ... ( m + 1 ) ) )
25	24	sumeq1d 14431	. . . . . 6 |- ( n = ( m + 1 ) -> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
26	25	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) )
27	26	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) )
28	23, 27	imbi12d 334	. . 3 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) )
29		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( n = N -> ( n e. ( 0 ... N ) <-> N e. ( 0 ... N ) ) )
30	29	anbi2d 740	. . . 4 |- ( n = N -> ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) <-> ( ph /\ N e. ( 0 ... N ) ) ) )
31		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( n = N -> ( 0 ... n ) = ( 0 ... N ) )
32	31	sumeq1d 14431	. . . . . 6 |- ( n = N -> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
33	32	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( n = N -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) )
34	33	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( n = N -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) )
35	30, 34	imbi12d 334	. . 3 |- ( n = N -> ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ N e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) )
36		0z 11388	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
37		fzsn 12383	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... 0 ) = { 0 } )
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... 0 ) = { 0 }
39	38	sumeq1i 14428	. . . . . . 7 |- sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = sum_ i e. { 0 } ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) )
40	39	mpteq2i 4741	. . . . . 6 |- ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. { 0 } ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
41		stoweidlem17.1	. . . . . . 7 |- F/ t ph
42		stoweidlem17.7	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E e. RR )
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> E e. RR )
44	43	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> E e. CC )
45		stoweidlem17.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X : ( 0 ... N ) --> A )
46		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
47		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> 0 < N )
48		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. RR
49		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> N e. RR )
50		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
51	48, 49, 50	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
52	47, 51	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
53	46, 52	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
54	1, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
55	36	eluz1i 11695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
56	54, 55	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
57		eluzfz1 12348	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... N ) )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... N ) )
59	45, 58	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X ` 0 ) e. A )
60		feq1 6026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( X ` 0 ) -> ( f : T --> RR <-> ( X ` 0 ) : T --> RR ) )
61	60	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( X ` 0 ) -> ( ( ph -> f : T --> RR ) <-> ( ph -> ( X ` 0 ) : T --> RR ) ) )
62		stoweidlem17.8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
63	62	expcom 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. A -> ( ph -> f : T --> RR ) )
64	61, 63	vtoclga 3272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X ` 0 ) e. A -> ( ph -> ( X ` 0 ) : T --> RR ) )
65	59, 64	mpcom 38	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X ` 0 ) : T --> RR )
66	65	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( X ` 0 ) ` t ) e. RR )
67	66	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( X ` 0 ) ` t ) e. CC )
68	44, 67	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( E x. ( ( X ` 0 ) ` t ) ) e. CC )
69		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = 0 -> ( X ` i ) = ( X ` 0 ) )
70	69	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( i = 0 -> ( ( X ` i ) ` t ) = ( ( X ` 0 ) ` t ) )
71	70	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( i = 0 -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = ( E x. ( ( X ` 0 ) ` t ) ) )
72	71	sumsn 14475	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( E x. ( ( X ` 0 ) ` t ) ) e. CC ) -> sum_ i e. { 0 } ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = ( E x. ( ( X ` 0 ) ` t ) ) )
73	36, 68, 72	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> sum_ i e. { 0 } ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = ( E x. ( ( X ` 0 ) ` t ) ) )
74	41, 73	mpteq2da 4743	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. T |-> sum_ i e. { 0 } ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` 0 ) ` t ) ) ) )
75	40, 74	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` 0 ) ` t ) ) ) )
76		stoweidlem17.5	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
77		stoweidlem17.6	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
78	41, 76, 77, 62, 42, 59	stoweidlem2 40219	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` 0 ) ` t ) ) ) e. A )
79	75, 78	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A )
80	79	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ 0 e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... 0 ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A )
81		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = t -> E = E )
82	81	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r e. T |-> E ) = ( t e. T |-> E )
83	82	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. T |-> E ) = ( r e. T |-> E )
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( t e. T |-> E ) = ( r e. T |-> E ) )
85		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ r = t ) -> E = E )
86		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. T )
87	84, 85, 86, 43	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( t e. T |-> E ) ` t ) = E )
88	87	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) = ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) )
89	41, 88	mpteq2da 4743	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) )
90	89	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) )
91	45	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( X ` ( m + 1 ) ) e. A )
92		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ph )
93		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = E -> x = E )
94	93	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = E -> ( t e. T |-> x ) = ( t e. T |-> E ) )
95	94	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = E -> ( ( t e. T |-> x ) e. A <-> ( t e. T |-> E ) e. A ) )
96	95	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = E -> ( ( ph -> ( t e. T |-> x ) e. A ) <-> ( ph -> ( t e. T |-> E ) e. A ) ) )
97	77	expcom 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( ph -> ( t e. T |-> x ) e. A ) )
98	96, 97	vtoclga 3272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E e. RR -> ( ph -> ( t e. T |-> E ) e. A ) )
99	42, 98	mpcom 38	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( t e. T |-> E ) e. A )
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> E ) e. A )
101		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = ( X ` ( m + 1 ) ) -> ( g ` t ) = ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) )
102	101	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = ( X ` ( m + 1 ) ) -> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) )
103	102	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( X ` ( m + 1 ) ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) )
104	103	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( X ` ( m + 1 ) ) -> ( ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A ) )
105	104	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( X ` ( m + 1 ) ) -> ( ( ( ph /\ ( t e. T |-> E ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ ( t e. T |-> E ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A ) ) )
106	82	eleq1i 2692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( r e. T |-> E ) e. A <-> ( t e. T |-> E ) e. A )
107		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f = ( r e. T |-> E ) -> ( f ` t ) = ( ( r e. T |-> E ) ` t ) )
108	82	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( r e. T |-> E ) ` t ) = ( ( t e. T |-> E ) ` t )
109	107, 108	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f = ( r e. T |-> E ) -> ( f ` t ) = ( ( t e. T |-> E ) ` t ) )
110	109	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = ( r e. T |-> E ) -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) )
111	110	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = ( r e. T |-> E ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
112	111	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = ( r e. T |-> E ) -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) )
113	112	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = ( r e. T |-> E ) -> ( ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) ) )
114	76	3com12 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f e. A /\ ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
115	114	3expib 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. A -> ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) )
116	113, 115	vtoclga 3272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( r e. T |-> E ) e. A -> ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) )
117	106, 116	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. T |-> E ) e. A -> ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) )
118	117	3impib 1262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( t e. T |-> E ) e. A /\ ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
119	118	3com13 1270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g e. A /\ ph /\ ( t e. T |-> E ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
120	119	3expib 1268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. A -> ( ( ph /\ ( t e. T |-> E ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) )
121	105, 120	vtoclga 3272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X ` ( m + 1 ) ) e. A -> ( ( ph /\ ( t e. T |-> E ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A ) )
122	121	3impib 1262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X ` ( m + 1 ) ) e. A /\ ph /\ ( t e. T |-> E ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A )
123	91, 92, 100, 122	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> E ) ` t ) x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A )
124	90, 123	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A )
125	124	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A )
126		simprrl 804	. . . . . . 7 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ph )
127		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> m e. NN0 )
128		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ph )
129	1	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> N e. NN )
130	129	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> N e. NN0 )
131		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN0 -> m e. RR )
132	131	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> m e. RR )
133		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN0 -> ( m + 1 ) e. NN0 )
134	133	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN0 -> ( m + 1 ) e. RR )
135	134	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( m + 1 ) e. RR )
136	1	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. RR )
137	136	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> N e. RR )
138		lep1 10862	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. RR -> m <_ ( m + 1 ) )
139	127, 131, 138	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> m <_ ( m + 1 ) )
140		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( m + 1 ) <_ N )
141	140	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( m + 1 ) <_ N )
142	132, 135, 137, 139, 141	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> m <_ N )
143		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( 0 ... N ) <-> ( m e. NN0 /\ N e. NN0 /\ m <_ N ) )
144	127, 130, 142, 143	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> m e. ( 0 ... N ) )
145	127, 128, 144	jca32 558	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( m e. NN0 /\ ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) ) )
146	145	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ( m e. NN0 /\ ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) ) )
147		pm3.31 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) -> ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) )
148	147	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) )
149	146, 148	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A )
150		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = t -> ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) = ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) )
151	150	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = t -> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) = ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) )
152	151	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) = ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) )
153	152	eleq1i 2692	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A )
154		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) -> ( g ` t ) = ( ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) ` t ) )
155	152	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) ` t ) = ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t )
156	154, 155	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) -> ( g ` t ) = ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) )
157	156	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) -> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) = ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) )
158	157	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) )
159	158	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) -> ( ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) e. A ) )
160	159	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( g = ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) -> ( ( ( ph /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) e. A ) ) )
161		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r = t -> ( ( X ` i ) ` r ) = ( ( X ` i ) ` t ) )
162	161	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = t -> ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) = ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
163	162	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = t -> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) = sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
164	163	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
165	164	eleq1i 2692	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A )
166		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) -> ( f ` t ) = ( ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) ` t ) )
167	164	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) ` t ) = ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t )
168	166, 167	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) -> ( f ` t ) = ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) )
169	168	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) -> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) = ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) )
170	169	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) )
171	170	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) )
172	171	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) -> ( ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) ) )
173		stoweidlem17.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
174	173	3com12 1269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. A /\ ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
175	174	3expib 1268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. A -> ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) )
176	172, 175	vtoclga 3272	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( r e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` r ) ) ) e. A -> ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) )
177	165, 176	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A -> ( ( ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) )
178	177	3impib 1262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A /\ ph /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
179	178	3com13 1270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. A /\ ph /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
180	179	3expib 1268	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. A -> ( ( ph /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) )
181	160, 180	vtoclga 3272	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` r ) ) ) e. A -> ( ( ph /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) e. A ) )
182	153, 181	sylbir 225	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A -> ( ( ph /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) e. A ) )
183	182	3impib 1262	. . . . . . 7 |- ( ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A /\ ph /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) e. A )
184	125, 126, 149, 183	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) e. A )
185		3anass 1042	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) <-> ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) )
186	185	biimpri 218	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
187	186	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
188		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ t m e. NN0
189		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ t ( m + 1 ) e. ( 0 ... N )
190	188, 41, 189	nf3an 1831	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
191		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> t e. T )
192		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( 0 ... m ) e. Fin )
193	42	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> E e. RR )
194	193	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> E e. RR )
195	194	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> E e. RR )
196		fzelp1 12393	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( 0 ... m ) -> i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) )
197	196	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) )
198		an32 839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) <-> ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) /\ t e. T ) )
199	197, 198	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) /\ t e. T ) )
200	45	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> X : ( 0 ... N ) --> A )
201	200	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> X : ( 0 ... N ) --> A )
202		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) )
203		fzss2 12381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) -> ( 0 ... ( m + 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
204	202, 203	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( 0 ... ( m + 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
205	204	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> i e. ( 0 ... N ) )
206	205	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> i e. ( 0 ... N ) )
207	201, 206	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> ( X ` i ) e. A )
208		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> ph )
209		feq1 6026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = ( X ` i ) -> ( f : T --> RR <-> ( X ` i ) : T --> RR ) )
210	209	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = ( X ` i ) -> ( ( ph -> f : T --> RR ) <-> ( ph -> ( X ` i ) : T --> RR ) ) )
211	210, 63	vtoclga 3272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X ` i ) e. A -> ( ph -> ( X ` i ) : T --> RR ) )
212	207, 208, 211	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> ( X ` i ) : T --> RR )
213	212	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) /\ t e. T ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. RR )
214	199, 213	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. RR )
215	195, 214	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
216	192, 215	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
217		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
218	217	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. T /\ sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR ) -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) = sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
219	191, 216, 218	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) = sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
220	219	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) = ( sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) )
221		3simpc 1060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
222	221	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
223		feq1 6026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = ( X ` ( m + 1 ) ) -> ( f : T --> RR <-> ( X ` ( m + 1 ) ) : T --> RR ) )
224	223	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = ( X ` ( m + 1 ) ) -> ( ( ph -> f : T --> RR ) <-> ( ph -> ( X ` ( m + 1 ) ) : T --> RR ) ) )
225	224, 63	vtoclga 3272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X ` ( m + 1 ) ) e. A -> ( ph -> ( X ` ( m + 1 ) ) : T --> RR ) )
226	91, 92, 225	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( X ` ( m + 1 ) ) : T --> RR )
227	222, 226	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( X ` ( m + 1 ) ) : T --> RR )
228	227, 191	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) e. RR )
229	194, 228	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) e. RR )
230		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) )
231	230	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. T /\ ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) e. RR ) -> ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) = ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) )
232	191, 229, 231	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) = ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) )
233	232	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) = ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) )
234		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
235	234	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
236	235	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
237	194	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> E e. RR )
238	213	an32s 846	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. RR )
239		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( E e. RR /\ ( ( X ` i ) ` t ) e. RR ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
240	239	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E e. RR /\ ( ( X ` i ) ` t ) e. RR ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. CC )
241	237, 238, 240	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. CC )
242		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( X ` i ) = ( X ` ( m + 1 ) ) )
243	242	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( ( X ` i ) ` t ) = ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) )
244	243	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) )
245	236, 241, 244	fsumm1 14480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = ( sum_ i e. ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) )
246		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN0 -> m e. CC )
247	246	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> m e. CC )
248	247	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> m e. CC )
249		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> 1 e. CC )
250	248, 249	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( ( m + 1 ) - 1 ) = m )
251	250	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... m ) )
252	251	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
253	252	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> ( sum_ i e. ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) = ( sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) )
254	245, 253	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = ( sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) )
255	220, 233, 254	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) )
256	190, 255	mpteq2da 4743	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) )
257	256	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( ( m e. NN0 /\ ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) e. A ) )
258	187, 257	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( E x. ( ( X ` ( m + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) e. A ) )
259	184, 258	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A )
260	259	exp32 631	. . . 4 |- ( ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) -> ( m e. NN0 -> ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) )
261	260	pm2.86i 109	. . 3 |- ( m e. NN0 -> ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) -> ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... ( m + 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) ) )
262	14, 21, 28, 35, 80, 261	nn0ind 11472	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ph /\ N e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A ) )
263	2, 7, 262	sylc 65	1 |- ( ph -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  stoweidlem60  40277