Theorem stoweidlem1 40218

Description: Lemma for stoweid 40280. This lemma is used by Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90; the key step uses Bernoulli's inequality bernneq 12990. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem1.1	|- ( ph -> N e. NN )
stoweidlem1.2	|- ( ph -> K e. NN )
stoweidlem1.3	|- ( ph -> D e. RR+ )
stoweidlem1.5	|- ( ph -> A e. RR+ )
stoweidlem1.6	|- ( ph -> 0 <_ A )
stoweidlem1.7	|- ( ph -> A <_ 1 )
stoweidlem1.8	|- ( ph -> D <_ A )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem1	|- ( ph -> ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) <_ ( 1 / ( ( K x. D ) ^ N ) ) )

Proof of Theorem stoweidlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10039	. . . . 5 |- 1 e. RR
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
3		stoweidlem1.5	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR+ )
4	3	rpred 11872	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
5		stoweidlem1.1	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
6	5	nnnn0d 11351	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
7	4, 6	reexpcld 13025	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^ N ) e. RR )
8	2, 7	resubcld 10458	. . 3 |- ( ph -> ( 1 - ( A ^ N ) ) e. RR )
9		stoweidlem1.2	. . . . 5 |- ( ph -> K e. NN )
10	9	nnnn0d 11351	. . . 4 |- ( ph -> K e. NN0 )
11	10, 6	nn0expcld 13031	. . 3 |- ( ph -> ( K ^ N ) e. NN0 )
12	8, 11	reexpcld 13025	. 2 |- ( ph -> ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) e. RR )
13		2nn0 11309	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. NN0 )
15	14, 6	nn0mulcld 11356	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. NN0 )
16	4, 15	reexpcld 13025	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ^ ( 2 x. N ) ) e. RR )
17	2, 16	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) e. RR )
18	17, 11	reexpcld 13025	. . 3 |- ( ph -> ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) e. RR )
19	9	nnred 11035	. . . . 5 |- ( ph -> K e. RR )
20	19, 4	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( K x. A ) e. RR )
21	20, 6	reexpcld 13025	. . 3 |- ( ph -> ( ( K x. A ) ^ N ) e. RR )
22	9	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( ph -> K e. CC )
23	3	rpcnd 11874	. . . . 5 |- ( ph -> A e. CC )
24	9	nnne0d 11065	. . . . 5 |- ( ph -> K =/= 0 )
25	3	rpne0d 11877	. . . . 5 |- ( ph -> A =/= 0 )
26	22, 23, 24, 25	mulne0d 10679	. . . 4 |- ( ph -> ( K x. A ) =/= 0 )
27	22, 23	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ph -> ( K x. A ) e. CC )
28		expne0 12891	. . . . 5 |- ( ( ( K x. A ) e. CC /\ N e. NN ) -> ( ( ( K x. A ) ^ N ) =/= 0 <-> ( K x. A ) =/= 0 ) )
29	27, 5, 28	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( K x. A ) ^ N ) =/= 0 <-> ( K x. A ) =/= 0 ) )
30	26, 29	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> ( ( K x. A ) ^ N ) =/= 0 )
31	18, 21, 30	redivcld 10853	. 2 |- ( ph -> ( ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) e. RR )
32		stoweidlem1.3	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. RR+ )
33	32	rpred 11872	. . . . 5 |- ( ph -> D e. RR )
34	19, 33	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( K x. D ) e. RR )
35	34, 6	reexpcld 13025	. . 3 |- ( ph -> ( ( K x. D ) ^ N ) e. RR )
36	32	rpcnd 11874	. . . . 5 |- ( ph -> D e. CC )
37	32	rpne0d 11877	. . . . 5 |- ( ph -> D =/= 0 )
38	22, 36, 24, 37	mulne0d 10679	. . . 4 |- ( ph -> ( K x. D ) =/= 0 )
39	22, 36	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ph -> ( K x. D ) e. CC )
40		expne0 12891	. . . . 5 |- ( ( ( K x. D ) e. CC /\ N e. NN ) -> ( ( ( K x. D ) ^ N ) =/= 0 <-> ( K x. D ) =/= 0 ) )
41	39, 5, 40	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( K x. D ) ^ N ) =/= 0 <-> ( K x. D ) =/= 0 ) )
42	38, 41	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> ( ( K x. D ) ^ N ) =/= 0 )
43	2, 35, 42	redivcld 10853	. 2 |- ( ph -> ( 1 / ( ( K x. D ) ^ N ) ) e. RR )
44	19, 6	reexpcld 13025	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K ^ N ) e. RR )
45	44, 7	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) e. RR )
46	2, 45	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) e. RR )
47	12, 46	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) ) e. RR )
48	47, 21, 30	redivcld 10853	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) e. RR )
49	2, 7	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 + ( A ^ N ) ) e. RR )
50	49, 11	reexpcld 13025	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) e. RR )
51	12, 50	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) e. RR )
52	51, 21, 30	redivcld 10853	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) e. RR )
53	46, 21, 30	redivcld 10853	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) e. RR )
54		stoweidlem1.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ A )
55		stoweidlem1.7	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A <_ 1 )
56		exple1 12920	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1 ) /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) <_ 1 )
57	4, 54, 55, 6, 56	syl31anc 1329	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ N ) <_ 1 )
58	2, 7	subge0d 10617	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 <_ ( 1 - ( A ^ N ) ) <-> ( A ^ N ) <_ 1 ) )
59	57, 58	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( 1 - ( A ^ N ) ) )
60	8, 11, 59	expge0d 13026	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
61	27, 6	expcld 13008	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( K x. A ) ^ N ) e. CC )
62	61, 30	dividd 10799	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( K x. A ) ^ N ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) = 1 )
63	61	addid2d 10237	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) = ( ( K x. A ) ^ N ) )
64		0red 10041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. RR )
65		0le1 10551	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 1
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ 1 )
67	64, 2, 21, 66	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) <_ ( 1 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) )
68	63, 67	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( K x. A ) ^ N ) <_ ( 1 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) )
69	2, 21	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) e. RR )
70	5	nnzd 11481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
71	9	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < K )
72	3	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < A )
73	19, 4, 71, 72	mulgt0d 10192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < ( K x. A ) )
74		expgt0 12893	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K x. A ) e. RR /\ N e. ZZ /\ 0 < ( K x. A ) ) -> 0 < ( ( K x. A ) ^ N ) )
75	20, 70, 73, 74	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( ( K x. A ) ^ N ) )
76		lediv1 10888	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K x. A ) ^ N ) e. RR /\ ( 1 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) e. RR /\ ( ( ( K x. A ) ^ N ) e. RR /\ 0 < ( ( K x. A ) ^ N ) ) ) -> ( ( ( K x. A ) ^ N ) <_ ( 1 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) <-> ( ( ( K x. A ) ^ N ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) <_ ( ( 1 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) ) )
77	21, 69, 21, 75, 76	syl112anc 1330	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( K x. A ) ^ N ) <_ ( 1 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) <-> ( ( ( K x. A ) ^ N ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) <_ ( ( 1 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) ) )
78	68, 77	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( K x. A ) ^ N ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) <_ ( ( 1 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) )
79	62, 78	eqbrtrrd 4677	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 <_ ( ( 1 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) )
80	22, 23, 6	mulexpd 13023	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( K x. A ) ^ N ) = ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) )
81	80	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) = ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) )
82	81	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 + ( ( K x. A ) ^ N ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) = ( ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) )
83	79, 82	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 <_ ( ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) )
84	12, 53, 60, 83	lemulge11d 10961	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) <_ ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) ) )
85		1cnd 10056	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. CC )
86	23, 6	expcld 13008	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ N ) e. CC )
87	85, 86	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 - ( A ^ N ) ) e. CC )
88	87, 11	expcld 13008	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) e. CC )
89	22, 6	expcld 13008	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K ^ N ) e. CC )
90	89, 86	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) e. CC )
91	85, 90	addcld 10059	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) e. CC )
92	88, 91, 61, 30	divassd 10836	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) = ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) ) )
93	84, 92	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) <_ ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) )
94	89, 86	mulcomd 10061	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) = ( ( A ^ N ) x. ( K ^ N ) ) )
95	94	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) = ( 1 + ( ( A ^ N ) x. ( K ^ N ) ) ) )
96	2	renegcld 10457	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u 1 e. RR )
97		le0neg2 10537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. RR -> ( 0 <_ 1 <-> -u 1 <_ 0 ) )
98	1, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 <_ 1 <-> -u 1 <_ 0 )
99	65, 98	mpbi 220	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 <_ 0
100	99	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u 1 <_ 0 )
101	4, 6, 54	expge0d 13026	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( A ^ N ) )
102	96, 64, 7, 100, 101	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u 1 <_ ( A ^ N ) )
103		bernneq 12990	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ^ N ) e. RR /\ ( K ^ N ) e. NN0 /\ -u 1 <_ ( A ^ N ) ) -> ( 1 + ( ( A ^ N ) x. ( K ^ N ) ) ) <_ ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
104	7, 11, 102, 103	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 + ( ( A ^ N ) x. ( K ^ N ) ) ) <_ ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
105	95, 104	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) <_ ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
106	46, 50, 12, 60, 105	lemul2ad 10964	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) ) <_ ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) )
107		lediv1 10888	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) ) e. RR /\ ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) e. RR /\ ( ( ( K x. A ) ^ N ) e. RR /\ 0 < ( ( K x. A ) ^ N ) ) ) -> ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) ) <_ ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) <-> ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) <_ ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) ) )
108	47, 51, 21, 75, 107	syl112anc 1330	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) ) <_ ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) <-> ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) <_ ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) ) )
109	106, 108	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( 1 + ( ( K ^ N ) x. ( A ^ N ) ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) <_ ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) )
110	12, 48, 52, 93, 109	letrd 10194	. . 3 |- ( ph -> ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) <_ ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) )
111	85, 86	addcld 10059	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 + ( A ^ N ) ) e. CC )
112	87, 111	mulcomd 10061	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 - ( A ^ N ) ) x. ( 1 + ( A ^ N ) ) ) = ( ( 1 + ( A ^ N ) ) x. ( 1 - ( A ^ N ) ) ) )
113	112	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) x. ( 1 + ( A ^ N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) = ( ( ( 1 + ( A ^ N ) ) x. ( 1 - ( A ^ N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
114	87, 111, 11	mulexpd 13023	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) x. ( 1 + ( A ^ N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) = ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) )
115		subsq 12972	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. CC /\ ( A ^ N ) e. CC ) -> ( ( 1 ^ 2 ) - ( ( A ^ N ) ^ 2 ) ) = ( ( 1 + ( A ^ N ) ) x. ( 1 - ( A ^ N ) ) ) )
116	85, 86, 115	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 ^ 2 ) - ( ( A ^ N ) ^ 2 ) ) = ( ( 1 + ( A ^ N ) ) x. ( 1 - ( A ^ N ) ) ) )
117		sq1 12958	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
118	117	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
119	23, 14, 6	expmuld 13011	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ^ ( N x. 2 ) ) = ( ( A ^ N ) ^ 2 ) )
120	5	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. CC )
121		2cnd 11093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 e. CC )
122	120, 121	mulcomd 10061	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N x. 2 ) = ( 2 x. N ) )
123	122	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ^ ( N x. 2 ) ) = ( A ^ ( 2 x. N ) ) )
124	119, 123	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A ^ N ) ^ 2 ) = ( A ^ ( 2 x. N ) ) )
125	118, 124	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 ^ 2 ) - ( ( A ^ N ) ^ 2 ) ) = ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) )
126	116, 125	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 + ( A ^ N ) ) x. ( 1 - ( A ^ N ) ) ) = ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) )
127	126	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 + ( A ^ N ) ) x. ( 1 - ( A ^ N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) = ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
128	113, 114, 127	3eqtr3d 2664	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) = ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
129	128	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) x. ( ( 1 + ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) = ( ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) )
130	110, 129	breqtrd 4679	. 2 |- ( ph -> ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) <_ ( ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) )
131	18, 2	jca 554	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) )
132		exple1 12920	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1 ) /\ ( 2 x. N ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( 2 x. N ) ) <_ 1 )
133	4, 54, 55, 15, 132	syl31anc 1329	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ^ ( 2 x. N ) ) <_ 1 )
134	2, 16	subge0d 10617	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 <_ ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) <-> ( A ^ ( 2 x. N ) ) <_ 1 ) )
135	133, 134	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) )
136	17, 11, 135	expge0d 13026	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
137		1m1e0 11089	. . . . . . 7 |- ( 1 - 1 ) = 0
138	4, 15, 54	expge0d 13026	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( A ^ ( 2 x. N ) ) )
139	137, 138	syl5eqbr 4688	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - 1 ) <_ ( A ^ ( 2 x. N ) ) )
140	2, 2, 16, 139	subled 10630	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) <_ 1 )
141		exple1 12920	. . . . 5 |- ( ( ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) /\ ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) <_ 1 ) /\ ( K ^ N ) e. NN0 ) -> ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) <_ 1 )
142	17, 135, 140, 11, 141	syl31anc 1329	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) <_ 1 )
143	131, 136, 142	jca32 558	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) /\ ( 0 <_ ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) /\ ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) <_ 1 ) ) )
144	35, 21	jca 554	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( K x. D ) ^ N ) e. RR /\ ( ( K x. A ) ^ N ) e. RR ) )
145	32	rpgt0d 11875	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < D )
146	19, 33, 71, 145	mulgt0d 10192	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < ( K x. D ) )
147		expgt0 12893	. . . . 5 |- ( ( ( K x. D ) e. RR /\ N e. ZZ /\ 0 < ( K x. D ) ) -> 0 < ( ( K x. D ) ^ N ) )
148	34, 70, 146, 147	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> 0 < ( ( K x. D ) ^ N ) )
149	64, 19, 71	ltled 10185	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ K )
150	64, 33, 145	ltled 10185	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ D )
151	19, 33, 149, 150	mulge0d 10604	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( K x. D ) )
152		stoweidlem1.8	. . . . . 6 |- ( ph -> D <_ A )
153	33, 4, 19, 149, 152	lemul2ad 10964	. . . . 5 |- ( ph -> ( K x. D ) <_ ( K x. A ) )
154		leexp1a 12919	. . . . 5 |- ( ( ( ( K x. D ) e. RR /\ ( K x. A ) e. RR /\ N e. NN0 ) /\ ( 0 <_ ( K x. D ) /\ ( K x. D ) <_ ( K x. A ) ) ) -> ( ( K x. D ) ^ N ) <_ ( ( K x. A ) ^ N ) )
155	34, 20, 6, 151, 153, 154	syl32anc 1334	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K x. D ) ^ N ) <_ ( ( K x. A ) ^ N ) )
156	148, 155	jca 554	. . 3 |- ( ph -> ( 0 < ( ( K x. D ) ^ N ) /\ ( ( K x. D ) ^ N ) <_ ( ( K x. A ) ^ N ) ) )
157		lediv12a 10916	. . 3 |- ( ( ( ( ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) /\ ( 0 <_ ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) /\ ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) <_ 1 ) ) /\ ( ( ( ( K x. D ) ^ N ) e. RR /\ ( ( K x. A ) ^ N ) e. RR ) /\ ( 0 < ( ( K x. D ) ^ N ) /\ ( ( K x. D ) ^ N ) <_ ( ( K x. A ) ^ N ) ) ) ) -> ( ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) <_ ( 1 / ( ( K x. D ) ^ N ) ) )
158	143, 144, 156, 157	syl12anc 1324	. 2 |- ( ph -> ( ( ( 1 - ( A ^ ( 2 x. N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) / ( ( K x. A ) ^ N ) ) <_ ( 1 / ( ( K x. D ) ^ N ) ) )
159	12, 31, 43, 130, 158	letrd 10194	1 |- ( ph -> ( ( 1 - ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) <_ ( 1 / ( ( K x. D ) ^ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  stoweidlem25  40242