Theorem sumeq2w 14422

Description: Equality theorem for sum, when the class expressions B and C are equal everywhere. Proved using only Extensionality. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sumeq2w	|- ( A. k B = C -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Proof of Theorem sumeq2w

Dummy variables f m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq2 3537	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k B = C -> [_ n / k ]_ B = [_ n / k ]_ C )
2	1	ifeq1d 4104	. . . . . . . . 9 |- ( A. k B = C -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) )
3	2	mpteq2dv 4745	. . . . . . . 8 |- ( A. k B = C -> ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) )
4	3	seqeq3d 12809	. . . . . . 7 |- ( A. k B = C -> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) )
5	4	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( A. k B = C -> ( seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) )
6	5	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( A. k B = C -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) ) )
7	6	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( A. k B = C -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) ) )
8		csbeq2 3537	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k B = C -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C )
9	8	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k B = C -> ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) )
10	9	seqeq3d 12809	. . . . . . . . 9 |- ( A. k B = C -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) )
11	10	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( A. k B = C -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) )
12	11	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( A. k B = C -> ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) <-> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) )
13	12	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( A. k B = C -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
14	13	exbidv 1850	. . . . 5 |- ( A. k B = C -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
15	14	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( A. k B = C -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
16	7, 15	orbi12d 746	. . 3 |- ( A. k B = C -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) ) )
17	16	iotabidv 5872	. 2 |- ( A. k B = C -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) ) )
18		df-sum 14417	. 2 |- sum_ k e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) )
19		df-sum 14417	. 2 |- sum_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
20	17, 18, 19	3eqtr4g 2681	1 |- ( A. k B = C -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E.wrex 2913   [_csb 3533   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   iotacio 5849   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ~~> cli 14215   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seq 12802  df-sum 14417

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