Theorem sumeq2ii 14423

Description: Equality theorem for sum, with the class expressions B and C guarded by _I to be always sets. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sumeq2ii	|- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Distinct variable group:   A, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem sumeq2ii

Dummy variables f m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> m e. ZZ )
2		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ n e. A ) -> n e. A )
3		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ n e. A ) -> A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) )
4		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k _I
5		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k [_ n / k ]_ B
6	4, 5	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( _I ` [_ n / k ]_ B )
7		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k [_ n / k ]_ C
8	4, 7	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( _I ` [_ n / k ]_ C )
9	6, 8	nfeq 2776	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( _I ` [_ n / k ]_ B ) = ( _I ` [_ n / k ]_ C )
10		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> B = [_ n / k ]_ B )
11	10	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( _I ` B ) = ( _I ` [_ n / k ]_ B ) )
12		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> C = [_ n / k ]_ C )
13	12	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( _I ` C ) = ( _I ` [_ n / k ]_ C ) )
14	11, 13	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = n -> ( ( _I ` B ) = ( _I ` C ) <-> ( _I ` [_ n / k ]_ B ) = ( _I ` [_ n / k ]_ C ) ) )
15	9, 14	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. A -> ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( _I ` [_ n / k ]_ B ) = ( _I ` [_ n / k ]_ C ) ) )
16	2, 3, 15	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ n e. A ) -> ( _I ` [_ n / k ]_ B ) = ( _I ` [_ n / k ]_ C ) )
17	16	ifeq1da 4116	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) -> if ( n e. A , ( _I ` [_ n / k ]_ B ) , ( _I ` 0 ) ) = if ( n e. A , ( _I ` [_ n / k ]_ C ) , ( _I ` 0 ) ) )
18		fvif 6204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( _I ` if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) = if ( n e. A , ( _I ` [_ n / k ]_ B ) , ( _I ` 0 ) )
19		fvif 6204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( _I ` if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) = if ( n e. A , ( _I ` [_ n / k ]_ C ) , ( _I ` 0 ) )
20	17, 18, 19	3eqtr4g 2681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( _I ` if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) = ( _I ` if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) )
21	20	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( n e. ZZ |-> ( _I ` if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) = ( n e. ZZ |-> ( _I ` if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) )
22	21	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( n e. ZZ |-> ( _I ` if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ` x ) = ( ( n e. ZZ |-> ( _I ` if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ` x ) )
23		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
24		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ |-> ( _I ` if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) = ( n e. ZZ |-> ( _I ` if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) )
25	23, 24	fvmptex 6294	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ` x ) = ( ( n e. ZZ |-> ( _I ` if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ` x )
26		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) )
27		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ |-> ( _I ` if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) = ( n e. ZZ |-> ( _I ` if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) )
28	26, 27	fvmptex 6294	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ` x ) = ( ( n e. ZZ |-> ( _I ` if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ` x )
29	22, 25, 28	3eqtr4g 2681	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ` x ) = ( ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ` x ) )
30	1, 29	seqfeq 12826	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) )
31	30	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> ( seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) )
32	31	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) ) )
33	32	rexbidva 3049	. . . 4 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) ) )
34		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> m e. NN )
35		nnuz 11723	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
36	34, 35	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
37		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... m ) --> A )
38	37	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> f : ( 1 ... m ) --> A )
39		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : ( 1 ... m ) --> A /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( f ` x ) e. A )
40	38, 39	sylancom 701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( f ` x ) e. A )
41		simplll 798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) )
42		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B )
43		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C )
44	42, 43	nfeq 2776	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C )
45		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( f ` x ) -> ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) )
46		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( f ` x ) -> ( _I ` C ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) )
47	45, 46	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( f ` x ) -> ( ( _I ` B ) = ( _I ` C ) <-> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) ) )
48	44, 47	rspc 3303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` x ) e. A -> ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) ) )
49	40, 41, 48	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) )
50		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f ` x ) e. _V
51		csbfv2g 6232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` x ) e. _V -> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B ) )
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B )
53		csbfv2g 6232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` x ) e. _V -> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C ) )
54	50, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C )
55	49, 52, 54	3eqtr3g 2679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C ) )
56		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 1 ... m ) -> x e. NN )
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> x e. NN )
58		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = x -> ( f ` n ) = ( f ` x ) )
59	58	csbeq1d 3540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = x -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` x ) / k ]_ B )
60		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B )
61	59, 60	fvmpti 6281	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ` x ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B ) )
62	57, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ` x ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B ) )
63	58	csbeq1d 3540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = x -> [_ ( f ` n ) / k ]_ C = [_ ( f ` x ) / k ]_ C )
64		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C )
65	63, 64	fvmpti 6281	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ` x ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C ) )
66	57, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ` x ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C ) )
67	55, 62, 66	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ` x ) = ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ` x ) )
68	36, 67	seqfveq 12825	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) )
69	68	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) <-> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) )
70	69	pm5.32da 673	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
71	70	exbidv 1850	. . . . 5 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
72	71	rexbidva 3049	. . . 4 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
73	33, 72	orbi12d 746	. . 3 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) ) )
74	73	iotabidv 5872	. 2 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) ) )
75		df-sum 14417	. 2 |- sum_ k e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) )
76		df-sum 14417	. 2 |- sum_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
77	74, 75, 76	3eqtr4g 2681	1 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [_csb 3533   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   iotacio 5849   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ~~> cli 14215   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  sumeq2  14424  sum2id  14439