Theorem sup0riota 8371

Description: The supremum of an empty set is the smallest element of the base set. (Contributed by AV, 4-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sup0riota	|- ( R Or A -> sup ( (/) , A , R ) = ( iota_ x e. A A. y e. A -. y R x ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, R, y

Proof of Theorem sup0riota

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 |- ( R Or A -> R Or A )
2	1	supval2 8361	. 2 |- ( R Or A -> sup ( (/) , A , R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. (/) -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. (/) y R z ) ) ) )
3		ral0 4076	. . . . . 6 |- A. y e. (/) -. x R y
4	3	biantrur 527	. . . . 5 |- ( A. y e. A ( y R x -> E. z e. (/) y R z ) <-> ( A. y e. (/) -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. (/) y R z ) ) )
5		rex0 3938	. . . . . . 7 |- -. E. z e. (/) y R z
6		imnot 355	. . . . . . 7 |- ( -. E. z e. (/) y R z -> ( ( y R x -> E. z e. (/) y R z ) <-> -. y R x ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( y R x -> E. z e. (/) y R z ) <-> -. y R x )
8	7	ralbii 2980	. . . . 5 |- ( A. y e. A ( y R x -> E. z e. (/) y R z ) <-> A. y e. A -. y R x )
9	4, 8	bitr3i 266	. . . 4 |- ( ( A. y e. (/) -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. (/) y R z ) ) <-> A. y e. A -. y R x )
10	9	a1i 11	. . 3 |- ( R Or A -> ( ( A. y e. (/) -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. (/) y R z ) ) <-> A. y e. A -. y R x ) )
11	10	riotabidv 6613	. 2 |- ( R Or A -> ( iota_ x e. A ( A. y e. (/) -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. (/) y R z ) ) ) = ( iota_ x e. A A. y e. A -. y R x ) )
12	2, 11	eqtrd 2656	1 |- ( R Or A -> sup ( (/) , A , R ) = ( iota_ x e. A A. y e. A -. y R x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   A.wral 2912   E.wrex 2913   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   Or wor 5034   iota_crio 6610   supcsup 8346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-po 5035  df-so 5036  df-iota 5851  df-riota 6611  df-sup 8348

This theorem is referenced by:  sup0  8372