Theorem sup0 8372

Description: The supremum of an empty set under a base set which has a unique smallest element is the smallest element of the base set. (Contributed by AV, 4-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sup0	|- ( ( R Or A /\ ( X e. A /\ A. y e. A -. y R X ) /\ E! x e. A A. y e. A -. y R x ) -> sup ( (/) , A , R ) = X )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, R, y   x, X, y

Proof of Theorem sup0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sup0riota 8371	. . 3 |- ( R Or A -> sup ( (/) , A , R ) = ( iota_ x e. A A. y e. A -. y R x ) )
2	1	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( R Or A /\ ( X e. A /\ A. y e. A -. y R X ) /\ E! x e. A A. y e. A -. y R x ) -> sup ( (/) , A , R ) = ( iota_ x e. A A. y e. A -. y R x ) )
3		simp2r 1088	. . 3 |- ( ( R Or A /\ ( X e. A /\ A. y e. A -. y R X ) /\ E! x e. A A. y e. A -. y R x ) -> A. y e. A -. y R X )
4		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( X e. A /\ A. y e. A -. y R X ) -> X e. A )
5	4	anim1i 592	. . . . 5 |- ( ( ( X e. A /\ A. y e. A -. y R X ) /\ E! x e. A A. y e. A -. y R x ) -> ( X e. A /\ E! x e. A A. y e. A -. y R x ) )
6	5	3adant1 1079	. . . 4 |- ( ( R Or A /\ ( X e. A /\ A. y e. A -. y R X ) /\ E! x e. A A. y e. A -. y R x ) -> ( X e. A /\ E! x e. A A. y e. A -. y R x ) )
7		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( y R x <-> y R X ) )
8	7	notbid 308	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( -. y R x <-> -. y R X ) )
9	8	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = X -> ( A. y e. A -. y R x <-> A. y e. A -. y R X ) )
10	9	riota2 6633	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ E! x e. A A. y e. A -. y R x ) -> ( A. y e. A -. y R X <-> ( iota_ x e. A A. y e. A -. y R x ) = X ) )
11	6, 10	syl 17	. . 3 |- ( ( R Or A /\ ( X e. A /\ A. y e. A -. y R X ) /\ E! x e. A A. y e. A -. y R x ) -> ( A. y e. A -. y R X <-> ( iota_ x e. A A. y e. A -. y R x ) = X ) )
12	3, 11	mpbid 222	. 2 |- ( ( R Or A /\ ( X e. A /\ A. y e. A -. y R X ) /\ E! x e. A A. y e. A -. y R x ) -> ( iota_ x e. A A. y e. A -. y R x ) = X )
13	2, 12	eqtrd 2656	1 |- ( ( R Or A /\ ( X e. A /\ A. y e. A -. y R X ) /\ E! x e. A A. y e. A -. y R x ) -> sup ( (/) , A , R ) = X )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E!wreu 2914   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   Or wor 5034   iota_crio 6610   supcsup 8346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-po 5035  df-so 5036  df-iota 5851  df-riota 6611  df-sup 8348

This theorem is referenced by:  infempty  8412