Theorem supmo 8358

Description: Any class B has at most one supremum in A (where R is interpreted as 'less than'). (Contributed by NM, 5-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
supmo.1	|- ( ph -> R Or A )

Assertion

Ref	Expression
supmo	|- ( ph -> E* x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, R, y, z   x, B, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem supmo

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supmo.1	. . 3 |- ( ph -> R Or A )
2		ancom 466	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. B -. w R y ) <-> ( A. y e. B -. w R y /\ A. y e. B -. x R y ) )
3	2	anbi2ci 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. B -. w R y ) /\ ( A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) <-> ( ( A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) /\ ( A. y e. B -. w R y /\ A. y e. B -. x R y ) ) )
4		an42 866	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) /\ ( A. y e. B -. w R y /\ A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) ) <-> ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. B -. w R y ) /\ ( A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) )
5		an42 866	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. B -. x R y ) /\ ( A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. B -. w R y ) ) <-> ( ( A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) /\ ( A. y e. B -. w R y /\ A. y e. B -. x R y ) ) )
6	3, 4, 5	3bitr4i 292	. . . . . 6 |- ( ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) /\ ( A. y e. B -. w R y /\ A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) ) <-> ( ( A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. B -. x R y ) /\ ( A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. B -. w R y ) ) )
7		ralnex 2992	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. B -. x R y <-> -. E. y e. B x R y )
8		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( y R w <-> x R w ) )
9		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ( y R z <-> x R z ) )
10	9	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( E. z e. B y R z <-> E. z e. B x R z ) )
11	8, 10	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( ( y R w -> E. z e. B y R z ) <-> ( x R w -> E. z e. B x R z ) ) )
12	11	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) -> ( x R w -> E. z e. B x R z ) )
13		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z -> ( x R y <-> x R z ) )
14	13	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y e. B x R y <-> E. z e. B x R z )
15	12, 14	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A /\ A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) -> ( x R w -> E. y e. B x R y ) )
16	15	con3d 148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) -> ( -. E. y e. B x R y -> -. x R w ) )
17	7, 16	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) -> ( A. y e. B -. x R y -> -. x R w ) )
18	17	expimpd 629	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> ( ( A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. B -. x R y ) -> -. x R w ) )
19	18	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. B -. x R y ) -> -. x R w ) )
20		ralnex 2992	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. B -. w R y <-> -. E. y e. B w R y )
21		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = w -> ( y R x <-> w R x ) )
22		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = w -> ( y R z <-> w R z ) )
23	22	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = w -> ( E. z e. B y R z <-> E. z e. B w R z ) )
24	21, 23	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = w -> ( ( y R x -> E. z e. B y R z ) <-> ( w R x -> E. z e. B w R z ) ) )
25	24	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. A /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> ( w R x -> E. z e. B w R z ) )
26		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z -> ( w R y <-> w R z ) )
27	26	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y e. B w R y <-> E. z e. B w R z )
28	25, 27	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. A /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> ( w R x -> E. y e. B w R y ) )
29	28	con3d 148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. A /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> ( -. E. y e. B w R y -> -. w R x ) )
30	20, 29	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( w e. A /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> ( A. y e. B -. w R y -> -. w R x ) )
31	30	expimpd 629	. . . . . . . 8 |- ( w e. A -> ( ( A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. B -. w R y ) -> -. w R x ) )
32	31	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. B -. w R y ) -> -. w R x ) )
33	19, 32	anim12d 586	. . . . . 6 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. B -. x R y ) /\ ( A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. B -. w R y ) ) -> ( -. x R w /\ -. w R x ) ) )
34	6, 33	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) /\ ( A. y e. B -. w R y /\ A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) ) -> ( -. x R w /\ -. w R x ) ) )
35		sotrieq2 5063	. . . . 5 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( x = w <-> ( -. x R w /\ -. w R x ) ) )
36	34, 35	sylibrd 249	. . . 4 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) /\ ( A. y e. B -. w R y /\ A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) ) -> x = w ) )
37	36	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( R Or A -> A. x e. A A. w e. A ( ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) /\ ( A. y e. B -. w R y /\ A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) ) -> x = w ) )
38	1, 37	syl 17	. 2 |- ( ph -> A. x e. A A. w e. A ( ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) /\ ( A. y e. B -. w R y /\ A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) ) -> x = w ) )
39		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( x R y <-> w R y ) )
40	39	notbid 308	. . . . 5 |- ( x = w -> ( -. x R y <-> -. w R y ) )
41	40	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( x = w -> ( A. y e. B -. x R y <-> A. y e. B -. w R y ) )
42		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( y R x <-> y R w ) )
43	42	imbi1d 331	. . . . 5 |- ( x = w -> ( ( y R x -> E. z e. B y R z ) <-> ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) )
44	43	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( x = w -> ( A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) <-> A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) )
45	41, 44	anbi12d 747	. . 3 |- ( x = w -> ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) <-> ( A. y e. B -. w R y /\ A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) ) )
46	45	rmo4 3399	. 2 |- ( E* x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) <-> A. x e. A A. w e. A ( ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) /\ ( A. y e. B -. w R y /\ A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) ) -> x = w ) )
47	38, 46	sylibr 224	1 |- ( ph -> E* x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   E*wrmo 2915   class class class wbr 4653   Or wor 5034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-po 5035  df-so 5036

This theorem is referenced by:  supexd  8359  supeu  8360