Theorem supubt 33534

Description: Upper bound property of supremum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
supubt	|- ( ( R Or A /\ E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) -> ( C e. B -> -. sup ( B , A , R ) R C ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   x, C, y, z   x, R, y, z

Proof of Theorem supubt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. 2 |- ( ( R Or A /\ E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) -> R Or A )
2		simpr 477	. 2 |- ( ( R Or A /\ E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
3	1, 2	supub 8365	1 |- ( ( R Or A /\ E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) -> ( C e. B -> -. sup ( B , A , R ) R C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   Or wor 5034   supcsup 8346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-po 5035  df-so 5036  df-iota 5851  df-riota 6611  df-sup 8348

This theorem is referenced by: (None)