Theorem supub 8365

Description: A supremum is an upper bound. See also supcl 8364 and suplub 8366.

This proof demonstrates how to expand an iota-based definition (df-iota 5851) using riotacl2 6624.

(Contributed by NM, 12-Oct-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmo.1	|- ( ph -> R Or A )
supcl.2	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
supub	|- ( ph -> ( C e. B -> -. sup ( B , A , R ) R C ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, R, y, z   x, B, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   C( x, y, z)

Proof of Theorem supub

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> A. y e. B -. x R y )
2	1	a1i 11	. . . . 5 |- ( x e. A -> ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> A. y e. B -. x R y ) )
3	2	ss2rabi 3684	. . . 4 |- { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } C_ { x e. A | A. y e. B -. x R y }
4		supmo.1	. . . . . 6 |- ( ph -> R Or A )
5	4	supval2 8361	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) )
6		supcl.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
7	4, 6	supeu 8360	. . . . . 6 |- ( ph -> E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
8		riotacl2 6624	. . . . . 6 |- ( E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) e. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } )
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) e. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } )
10	5, 9	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) e. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } )
11	3, 10	sseldi 3601	. . 3 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) e. { x e. A | A. y e. B -. x R y } )
12		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( y = w -> ( x R y <-> x R w ) )
13	12	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( y = w -> ( -. x R y <-> -. x R w ) )
14	13	cbvralv 3171	. . . . . 6 |- ( A. y e. B -. x R y <-> A. w e. B -. x R w )
15		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( x = sup ( B , A , R ) -> ( x R w <-> sup ( B , A , R ) R w ) )
16	15	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( x = sup ( B , A , R ) -> ( -. x R w <-> -. sup ( B , A , R ) R w ) )
17	16	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( x = sup ( B , A , R ) -> ( A. w e. B -. x R w <-> A. w e. B -. sup ( B , A , R ) R w ) )
18	14, 17	syl5bb 272	. . . . 5 |- ( x = sup ( B , A , R ) -> ( A. y e. B -. x R y <-> A. w e. B -. sup ( B , A , R ) R w ) )
19	18	elrab 3363	. . . 4 |- ( sup ( B , A , R ) e. { x e. A | A. y e. B -. x R y } <-> ( sup ( B , A , R ) e. A /\ A. w e. B -. sup ( B , A , R ) R w ) )
20	19	simprbi 480	. . 3 |- ( sup ( B , A , R ) e. { x e. A | A. y e. B -. x R y } -> A. w e. B -. sup ( B , A , R ) R w )
21	11, 20	syl 17	. 2 |- ( ph -> A. w e. B -. sup ( B , A , R ) R w )
22		breq2 4657	. . . 4 |- ( w = C -> ( sup ( B , A , R ) R w <-> sup ( B , A , R ) R C ) )
23	22	notbid 308	. . 3 |- ( w = C -> ( -. sup ( B , A , R ) R w <-> -. sup ( B , A , R ) R C ) )
24	23	rspccv 3306	. 2 |- ( A. w e. B -. sup ( B , A , R ) R w -> ( C e. B -> -. sup ( B , A , R ) R C ) )
25	21, 24	syl 17	1 |- ( ph -> ( C e. B -> -. sup ( B , A , R ) R C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   {crab 2916   class class class wbr 4653   Or wor 5034   iota_crio 6610   supcsup 8346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-po 5035  df-so 5036  df-iota 5851  df-riota 6611  df-sup 8348

This theorem is referenced by:  suplub2  8367  supgtoreq  8376  supiso  8381  inflb  8395  suprub  10984  suprzub  11779  supxrun  12146  supxrub  12154  dgrub  23990  supssd  29487  ssnnssfz  29549  oddpwdc  30416  itg2addnclem  33461  supubt  33534  ssnn0ssfz  42127