Theorem filbcmb 33535

Description: Combine a finite set of lower bounds. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
filbcmb	|- ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) /\ B C_ RR ) -> ( A. x e. A E. y e. B A. z e. B ( y <_ z -> ph ) -> E. y e. B A. z e. B ( y <_ z -> A. x e. A ph ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x, z)

Proof of Theorem filbcmb

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 10027	. . . . 5 |- RR e. _V
2	1	ssex 4802	. . . 4 |- ( B C_ RR -> B e. _V )
3		indexfi 8274	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. _V /\ A. x e. A E. y e. B A. z e. B ( y <_ z -> ph ) ) -> E. w e. Fin ( w C_ B /\ A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) /\ A. y e. w E. x e. A A. z e. B ( y <_ z -> ph ) ) )
4	3	3expia 1267	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. _V ) -> ( A. x e. A E. y e. B A. z e. B ( y <_ z -> ph ) -> E. w e. Fin ( w C_ B /\ A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) /\ A. y e. w E. x e. A A. z e. B ( y <_ z -> ph ) ) ) )
5	2, 4	sylan2 491	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ RR ) -> ( A. x e. A E. y e. B A. z e. B ( y <_ z -> ph ) -> E. w e. Fin ( w C_ B /\ A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) /\ A. y e. w E. x e. A A. z e. B ( y <_ z -> ph ) ) ) )
6	5	3adant2 1080	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) /\ B C_ RR ) -> ( A. x e. A E. y e. B A. z e. B ( y <_ z -> ph ) -> E. w e. Fin ( w C_ B /\ A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) /\ A. y e. w E. x e. A A. z e. B ( y <_ z -> ph ) ) ) )
7		r19.2z 4060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) ) -> E. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) )
8		rexn0 4074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) -> w =/= (/) )
9	8	rexlimivw 3029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) -> w =/= (/) )
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) ) -> w =/= (/) )
11	10	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( A =/= (/) -> ( A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) -> w =/= (/) ) )
12	11	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) /\ B C_ RR ) -> ( A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) -> w =/= (/) ) )
13	12	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) /\ B C_ RR ) /\ w e. Fin ) /\ w C_ B ) -> ( A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) -> w =/= (/) ) )
14		sstr 3611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w C_ B /\ B C_ RR ) -> w C_ RR )
15	14	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) -> w C_ RR )
16		fimaxre 10968	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w C_ RR /\ w e. Fin /\ w =/= (/) ) -> E. y e. w A. u e. w u <_ y )
17	16	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w C_ RR /\ w e. Fin ) -> ( w =/= (/) -> E. y e. w A. u e. w u <_ y ) )
18	15, 17	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ w e. Fin ) -> ( w =/= (/) -> E. y e. w A. u e. w u <_ y ) )
19	18	anasss 679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B C_ RR /\ ( w C_ B /\ w e. Fin ) ) -> ( w =/= (/) -> E. y e. w A. u e. w u <_ y ) )
20	19	ancom2s 844	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B C_ RR /\ ( w e. Fin /\ w C_ B ) ) -> ( w =/= (/) -> E. y e. w A. u e. w u <_ y ) )
21	20	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) /\ B C_ RR ) /\ ( w e. Fin /\ w C_ B ) ) -> ( w =/= (/) -> E. y e. w A. u e. w u <_ y ) )
22	21	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) /\ B C_ RR ) /\ w e. Fin ) /\ w C_ B ) -> ( w =/= (/) -> E. y e. w A. u e. w u <_ y ) )
23	13, 22	syld 47	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) /\ B C_ RR ) /\ w e. Fin ) /\ w C_ B ) -> ( A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) -> E. y e. w A. u e. w u <_ y ) )
24	23	a1dd 50	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) /\ B C_ RR ) /\ w e. Fin ) /\ w C_ B ) -> ( A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) -> ( A. y e. w E. x e. A A. z e. B ( y <_ z -> ph ) -> E. y e. w A. u e. w u <_ y ) ) )
25	24	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) /\ B C_ RR ) /\ w e. Fin ) -> ( w C_ B -> ( A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) -> ( A. y e. w E. x e. A A. z e. B ( y <_ z -> ph ) -> E. y e. w A. u e. w u <_ y ) ) ) )
26	25	3impd 1281	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) /\ B C_ RR ) /\ w e. Fin ) -> ( ( w C_ B /\ A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) /\ A. y e. w E. x e. A A. z e. B ( y <_ z -> ph ) ) -> E. y e. w A. u e. w u <_ y ) )
27		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ( B C_ RR /\ w C_ B )
28		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y A
29		nfre1 3005	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph )
30	28, 29	nfral 2945	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph )
31	27, 30	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) )
32		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ z ( B C_ RR /\ w C_ B )
33		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ z A
34		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ z w
35		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ z A. z e. B ( y <_ z -> ph )
36	34, 35	nfrex 3007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ z E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph )
37	33, 36	nfral 2945	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ z A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph )
38	32, 37	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ z ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) )
39		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ z ( y e. w /\ A. u e. w u <_ y )
40	38, 39	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ z ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) ) /\ ( y e. w /\ A. u e. w u <_ y ) )
41		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = v -> ( y <_ z <-> v <_ z ) )
42	41	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = v -> ( ( y <_ z -> ph ) <-> ( v <_ z -> ph ) ) )
43	42	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = v -> ( A. z e. B ( y <_ z -> ph ) <-> A. z e. B ( v <_ z -> ph ) ) )
44	43	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) <-> E. v e. w A. z e. B ( v <_ z -> ph ) )
45		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. z e. B ( v <_ z -> ph ) -> ( z e. B -> ( v <_ z -> ph ) ) )
46		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( w C_ B /\ v e. w ) -> v e. B )
47		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( B C_ RR /\ v e. B ) -> v e. RR )
48	46, 47	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( B C_ RR /\ ( w C_ B /\ v e. w ) ) -> v e. RR )
49	48	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ v e. w ) -> v e. RR )
50	49	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ ( y e. w /\ A. u e. w u <_ y ) ) /\ v e. w ) -> v e. RR )
51	50	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ ( y e. w /\ A. u e. w u <_ y ) ) /\ ( z e. B /\ y <_ z ) ) /\ v e. w ) -> v e. RR )
52		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( w C_ B /\ y e. w ) -> y e. B )
53		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( B C_ RR /\ y e. B ) -> y e. RR )
54	52, 53	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( B C_ RR /\ ( w C_ B /\ y e. w ) ) -> y e. RR )
55	54	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ y e. w ) -> y e. RR )
56	55	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ ( y e. w /\ A. u e. w u <_ y ) ) -> y e. RR )
57	56	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ ( y e. w /\ A. u e. w u <_ y ) ) /\ ( z e. B /\ y <_ z ) ) /\ v e. w ) -> y e. RR )
58		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( B C_ RR /\ z e. B ) -> z e. RR )
59	58	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ z e. B ) -> z e. RR )
60	59	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ ( y e. w /\ A. u e. w u <_ y ) ) /\ ( z e. B /\ y <_ z ) ) -> z e. RR )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ ( y e. w /\ A. u e. w u <_ y ) ) /\ ( z e. B /\ y <_ z ) ) /\ v e. w ) -> z e. RR )
62		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( u = v -> ( u <_ y <-> v <_ y ) )
63	62	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A. u e. w u <_ y /\ v e. w ) -> v <_ y )
64	63	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( y e. w /\ A. u e. w u <_ y ) /\ v e. w ) -> v <_ y )
65	64	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ ( y e. w /\ A. u e. w u <_ y ) ) /\ v e. w ) -> v <_ y )
66	65	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ ( y e. w /\ A. u e. w u <_ y ) ) /\ ( z e. B /\ y <_ z ) ) /\ v e. w ) -> v <_ y )
67		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ ( y e. w /\ A. u e. w u <_ y ) ) /\ ( z e. B /\ y <_ z ) ) /\ v e. w ) -> y <_ z )
68	51, 57, 61, 66, 67	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ ( y e. w /\ A. u e. w u <_ y ) ) /\ ( z e. B /\ y <_ z ) ) /\ v e. w ) -> v <_ z )
69		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z e. B -> ( ( z e. B -> ( v <_ z -> ph ) ) -> ( v <_ z -> ph ) ) )
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( z e. B /\ y <_ z ) -> ( ( z e. B -> ( v <_ z -> ph ) ) -> ( v <_ z -> ph ) ) )
71	70	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ ( y e. w /\ A. u e. w u <_ y ) ) /\ ( z e. B /\ y <_ z ) ) /\ v e. w ) -> ( ( z e. B -> ( v <_ z -> ph ) ) -> ( v <_ z -> ph ) ) )
72	68, 71	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ ( y e. w /\ A. u e. w u <_ y ) ) /\ ( z e. B /\ y <_ z ) ) /\ v e. w ) -> ( ( z e. B -> ( v <_ z -> ph ) ) -> ph ) )
73	45, 72	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ ( y e. w /\ A. u e. w u <_ y ) ) /\ ( z e. B /\ y <_ z ) ) /\ v e. w ) -> ( A. z e. B ( v <_ z -> ph ) -> ph ) )
74	73	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ ( y e. w /\ A. u e. w u <_ y ) ) /\ ( z e. B /\ y <_ z ) ) /\ x e. A ) /\ v e. w ) -> ( A. z e. B ( v <_ z -> ph ) -> ph ) )
75	74	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ ( y e. w /\ A. u e. w u <_ y ) ) /\ ( z e. B /\ y <_ z ) ) /\ x e. A ) -> ( E. v e. w A. z e. B ( v <_ z -> ph ) -> ph ) )
76	44, 75	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ ( y e. w /\ A. u e. w u <_ y ) ) /\ ( z e. B /\ y <_ z ) ) /\ x e. A ) -> ( E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) -> ph ) )
77	76	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ ( y e. w /\ A. u e. w u <_ y ) ) /\ ( z e. B /\ y <_ z ) ) -> ( A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) -> A. x e. A ph ) )
78	77	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ ( y e. w /\ A. u e. w u <_ y ) ) /\ ( z e. B /\ y <_ z ) ) /\ A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) ) -> A. x e. A ph )
79	78	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ ( y e. w /\ A. u e. w u <_ y ) ) /\ A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) ) /\ ( z e. B /\ y <_ z ) ) -> A. x e. A ph )
80	79	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ ( y e. w /\ A. u e. w u <_ y ) ) /\ A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) ) -> ( z e. B -> ( y <_ z -> A. x e. A ph ) ) )
81	80	an32s 846	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) ) /\ ( y e. w /\ A. u e. w u <_ y ) ) -> ( z e. B -> ( y <_ z -> A. x e. A ph ) ) )
82	40, 81	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) ) /\ ( y e. w /\ A. u e. w u <_ y ) ) -> A. z e. B ( y <_ z -> A. x e. A ph ) )
83	82	exp32 631	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) ) -> ( y e. w -> ( A. u e. w u <_ y -> A. z e. B ( y <_ z -> A. x e. A ph ) ) ) )
84	31, 83	reximdai 3012	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) ) -> ( E. y e. w A. u e. w u <_ y -> E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> A. x e. A ph ) ) )
85	84	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ ( A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) /\ A. y e. w E. x e. A A. z e. B ( y <_ z -> ph ) ) ) -> ( E. y e. w A. u e. w u <_ y -> E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> A. x e. A ph ) ) )
86		ssrexv 3667	. . . . . . . . . 10 |- ( w C_ B -> ( E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> A. x e. A ph ) -> E. y e. B A. z e. B ( y <_ z -> A. x e. A ph ) ) )
87	86	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ ( A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) /\ A. y e. w E. x e. A A. z e. B ( y <_ z -> ph ) ) ) -> ( E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> A. x e. A ph ) -> E. y e. B A. z e. B ( y <_ z -> A. x e. A ph ) ) )
88	85, 87	syld 47	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ RR /\ w C_ B ) /\ ( A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) /\ A. y e. w E. x e. A A. z e. B ( y <_ z -> ph ) ) ) -> ( E. y e. w A. u e. w u <_ y -> E. y e. B A. z e. B ( y <_ z -> A. x e. A ph ) ) )
89	88	exp43 640	. . . . . . 7 |- ( B C_ RR -> ( w C_ B -> ( A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) -> ( A. y e. w E. x e. A A. z e. B ( y <_ z -> ph ) -> ( E. y e. w A. u e. w u <_ y -> E. y e. B A. z e. B ( y <_ z -> A. x e. A ph ) ) ) ) ) )
90	89	3impd 1281	. . . . . 6 |- ( B C_ RR -> ( ( w C_ B /\ A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) /\ A. y e. w E. x e. A A. z e. B ( y <_ z -> ph ) ) -> ( E. y e. w A. u e. w u <_ y -> E. y e. B A. z e. B ( y <_ z -> A. x e. A ph ) ) ) )
91	90	3ad2ant3 1084	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) /\ B C_ RR ) -> ( ( w C_ B /\ A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) /\ A. y e. w E. x e. A A. z e. B ( y <_ z -> ph ) ) -> ( E. y e. w A. u e. w u <_ y -> E. y e. B A. z e. B ( y <_ z -> A. x e. A ph ) ) ) )
92	91	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) /\ B C_ RR ) /\ w e. Fin ) -> ( ( w C_ B /\ A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) /\ A. y e. w E. x e. A A. z e. B ( y <_ z -> ph ) ) -> ( E. y e. w A. u e. w u <_ y -> E. y e. B A. z e. B ( y <_ z -> A. x e. A ph ) ) ) )
93	26, 92	mpdd 43	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) /\ B C_ RR ) /\ w e. Fin ) -> ( ( w C_ B /\ A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) /\ A. y e. w E. x e. A A. z e. B ( y <_ z -> ph ) ) -> E. y e. B A. z e. B ( y <_ z -> A. x e. A ph ) ) )
94	93	rexlimdva 3031	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) /\ B C_ RR ) -> ( E. w e. Fin ( w C_ B /\ A. x e. A E. y e. w A. z e. B ( y <_ z -> ph ) /\ A. y e. w E. x e. A A. z e. B ( y <_ z -> ph ) ) -> E. y e. B A. z e. B ( y <_ z -> A. x e. A ph ) ) )
95	6, 94	syld 47	1 |- ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) /\ B C_ RR ) -> ( A. x e. A E. y e. B A. z e. B ( y <_ z -> ph ) -> E. y e. B A. z e. B ( y <_ z -> A. x e. A ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   Fincfn 7955   RRcr 9935   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by: (None)