Theorem tgiun 20783

Description: The indexed union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgiun	|- ( ( B e. V /\ A. x e. A C e. B ) -> U_ x e. A C e. ( topGen ` B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, V

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem tgiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun3g 5378	. . 3 |- ( A. x e. A C e. B -> U_ x e. A C = U. ran ( x e. A |-> C ) )
2	1	adantl 482	. 2 |- ( ( B e. V /\ A. x e. A C e. B ) -> U_ x e. A C = U. ran ( x e. A |-> C ) )
3		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. A |-> C ) = ( x e. A |-> C )
4	3	rnmptss 6392	. . 3 |- ( A. x e. A C e. B -> ran ( x e. A |-> C ) C_ B )
5		eltg3i 20765	. . 3 |- ( ( B e. V /\ ran ( x e. A |-> C ) C_ B ) -> U. ran ( x e. A |-> C ) e. ( topGen ` B ) )
6	4, 5	sylan2 491	. 2 |- ( ( B e. V /\ A. x e. A C e. B ) -> U. ran ( x e. A |-> C ) e. ( topGen ` B ) )
7	2, 6	eqeltrd 2701	1 |- ( ( B e. V /\ A. x e. A C e. B ) -> U_ x e. A C e. ( topGen ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   U.cuni 4436   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888   topGenctg 16098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-topgen 16104

This theorem is referenced by:  txbasval  21409