Theorem txbasval 21409

Description: It is sufficient to consider products of the bases for the topologies in the topological product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
txbasval	|- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( topGen ` R ) tX ( topGen ` S ) ) = ( R tX S ) )

Proof of Theorem txbasval

Dummy variables x y m n u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) = ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) )
2	1	txval 21367	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) )
3		bastg 20770	. . . . . . 7 |- ( R e. V -> R C_ ( topGen ` R ) )
4		bastg 20770	. . . . . . 7 |- ( S e. W -> S C_ ( topGen ` S ) )
5		resmpt2 6758	. . . . . . 7 |- ( ( R C_ ( topGen ` R ) /\ S C_ ( topGen ` S ) ) -> ( ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) |` ( R X. S ) ) = ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) )
6	3, 4, 5	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) |` ( R X. S ) ) = ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) )
7		resss 5422	. . . . . 6 |- ( ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) |` ( R X. S ) ) C_ ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) )
8	6, 7	syl6eqssr 3656	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) C_ ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) )
9		rnss 5354	. . . . 5 |- ( ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) C_ ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) -> ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) C_ ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) )
10	8, 9	syl 17	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) C_ ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) )
11		eltg3 20766	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. V -> ( u e. ( topGen ` R ) <-> E. m ( m C_ R /\ u = U. m ) ) )
12		eltg3 20766	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. W -> ( v e. ( topGen ` S ) <-> E. n ( n C_ S /\ v = U. n ) ) )
13	11, 12	bi2anan9 917	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( u e. ( topGen ` R ) /\ v e. ( topGen ` S ) ) <-> ( E. m ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ E. n ( n C_ S /\ v = U. n ) ) ) )
14		eeanv 2182	. . . . . . . . . 10 |- ( E. m E. n ( ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ ( n C_ S /\ v = U. n ) ) <-> ( E. m ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ E. n ( n C_ S /\ v = U. n ) ) )
15		an4 865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ ( n C_ S /\ v = U. n ) ) <-> ( ( m C_ R /\ n C_ S ) /\ ( u = U. m /\ v = U. n ) ) )
16		uniiun 4573	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. m = U_ x e. m x
17		uniiun 4573	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. n = U_ y e. n y
18	16, 17	xpeq12i 5137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U. m X. U. n ) = ( U_ x e. m x X. U_ y e. n y )
19		xpiundir 5174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U_ x e. m x X. U_ y e. n y ) = U_ x e. m ( x X. U_ y e. n y )
20		xpiundi 5173	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x X. U_ y e. n y ) = U_ y e. n ( x X. y )
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. m -> ( x X. U_ y e. n y ) = U_ y e. n ( x X. y ) )
22	21	iuneq2i 4539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ x e. m ( x X. U_ y e. n y ) = U_ x e. m U_ y e. n ( x X. y )
23	18, 19, 22	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U. m X. U. n ) = U_ x e. m U_ y e. n ( x X. y )
24		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( R tX S ) e. _V
25		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( m C_ R /\ x e. m ) -> x e. R )
26		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( n C_ S /\ y e. n ) -> y e. S )
27	25, 26	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( m C_ R /\ x e. m ) /\ ( n C_ S /\ y e. n ) ) -> ( x e. R /\ y e. S ) )
28	27	an4s 869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( m C_ R /\ n C_ S ) /\ ( x e. m /\ y e. n ) ) -> ( x e. R /\ y e. S ) )
29		txopn 21405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( x e. R /\ y e. S ) ) -> ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
30	28, 29	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( ( m C_ R /\ n C_ S ) /\ ( x e. m /\ y e. n ) ) ) -> ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
31	30	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ ( x e. m /\ y e. n ) ) -> ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
32	31	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ x e. m ) /\ y e. n ) -> ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
33	32	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ x e. m ) -> A. y e. n ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
34		tgiun 20783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( R tX S ) e. _V /\ A. y e. n ( x X. y ) e. ( R tX S ) ) -> U_ y e. n ( x X. y ) e. ( topGen ` ( R tX S ) ) )
35	24, 33, 34	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ x e. m ) -> U_ y e. n ( x X. y ) e. ( topGen ` ( R tX S ) ) )
36	1	txbasex 21369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) e. _V )
37		tgidm 20784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) e. _V -> ( topGen ` ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) ) = ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( topGen ` ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) ) = ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) )
39	2	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( topGen ` ( R tX S ) ) = ( topGen ` ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) ) )
40	38, 39, 2	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( topGen ` ( R tX S ) ) = ( R tX S ) )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> ( topGen ` ( R tX S ) ) = ( R tX S ) )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ x e. m ) -> ( topGen ` ( R tX S ) ) = ( R tX S ) )
43	35, 42	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ x e. m ) -> U_ y e. n ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
44	43	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> A. x e. m U_ y e. n ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
45		tgiun 20783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R tX S ) e. _V /\ A. x e. m U_ y e. n ( x X. y ) e. ( R tX S ) ) -> U_ x e. m U_ y e. n ( x X. y ) e. ( topGen ` ( R tX S ) ) )
46	24, 44, 45	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> U_ x e. m U_ y e. n ( x X. y ) e. ( topGen ` ( R tX S ) ) )
47	46, 41	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> U_ x e. m U_ y e. n ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
48	23, 47	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> ( U. m X. U. n ) e. ( R tX S ) )
49		xpeq12 5134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u = U. m /\ v = U. n ) -> ( u X. v ) = ( U. m X. U. n ) )
50	49	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = U. m /\ v = U. n ) -> ( ( u X. v ) e. ( R tX S ) <-> ( U. m X. U. n ) e. ( R tX S ) ) )
51	48, 50	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> ( ( u = U. m /\ v = U. n ) -> ( u X. v ) e. ( R tX S ) ) )
52	51	expimpd 629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( ( m C_ R /\ n C_ S ) /\ ( u = U. m /\ v = U. n ) ) -> ( u X. v ) e. ( R tX S ) ) )
53	15, 52	syl5bi 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ ( n C_ S /\ v = U. n ) ) -> ( u X. v ) e. ( R tX S ) ) )
54	53	exlimdvv 1862	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( E. m E. n ( ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ ( n C_ S /\ v = U. n ) ) -> ( u X. v ) e. ( R tX S ) ) )
55	14, 54	syl5bir 233	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( E. m ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ E. n ( n C_ S /\ v = U. n ) ) -> ( u X. v ) e. ( R tX S ) ) )
56	13, 55	sylbid 230	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( u e. ( topGen ` R ) /\ v e. ( topGen ` S ) ) -> ( u X. v ) e. ( R tX S ) ) )
57	56	ralrimivv 2970	. . . . . . 7 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> A. u e. ( topGen ` R ) A. v e. ( topGen ` S ) ( u X. v ) e. ( R tX S ) )
58		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) = ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) )
59	58	fmpt2 7237	. . . . . . 7 |- ( A. u e. ( topGen ` R ) A. v e. ( topGen ` S ) ( u X. v ) e. ( R tX S ) <-> ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) : ( ( topGen ` R ) X. ( topGen ` S ) ) --> ( R tX S ) )
60	57, 59	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) : ( ( topGen ` R ) X. ( topGen ` S ) ) --> ( R tX S ) )
61		frn 6053	. . . . . 6 |- ( ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) : ( ( topGen ` R ) X. ( topGen ` S ) ) --> ( R tX S ) -> ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) C_ ( R tX S ) )
62	60, 61	syl 17	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) C_ ( R tX S ) )
63	62, 2	sseqtrd 3641	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) C_ ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) )
64		2basgen 20794	. . . 4 |- ( ( ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) C_ ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) /\ ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) C_ ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) ) -> ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) ) )
65	10, 63, 64	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) ) )
66		fvex 6201	. . . 4 |- ( topGen ` R ) e. _V
67		fvex 6201	. . . 4 |- ( topGen ` S ) e. _V
68		eqid 2622	. . . . 5 |- ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) = ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) )
69	68	txval 21367	. . . 4 |- ( ( ( topGen ` R ) e. _V /\ ( topGen ` S ) e. _V ) -> ( ( topGen ` R ) tX ( topGen ` S ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) ) )
70	66, 67, 69	mp2an 708	. . 3 |- ( ( topGen ` R ) tX ( topGen ` S ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) )
71	65, 70	syl6eqr 2674	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) = ( ( topGen ` R ) tX ( topGen ` S ) ) )
72	2, 71	eqtr2d 2657	1 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( topGen ` R ) tX ( topGen ` S ) ) = ( R tX S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U.cuni 4436   U_ciun 4520   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   topGenctg 16098   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-topgen 16104  df-tx 21365

This theorem is referenced by:  tx2ndc  21454  mbfimaopnlem  23422