Theorem tglnunirn 25443

Description: Lines are sets of points. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglng.p	|- P = ( Base ` G )
tglng.l	|- L = (LineG ` G )
tglng.i	|- I = (Itv ` G )

Assertion

Ref	Expression
tglnunirn	|- ( G e. TarskiG -> U. ran L C_ P )

Proof of Theorem tglnunirn

Dummy variables p x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglng.p	. . . . . . . 8 |- P = ( Base ` G )
2		tglng.l	. . . . . . . 8 |- L = (LineG ` G )
3		tglng.i	. . . . . . . 8 |- I = (Itv ` G )
4	1, 2, 3	tglng 25441	. . . . . . 7 |- ( G e. TarskiG -> L = ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) )
5	4	rneqd 5353	. . . . . 6 |- ( G e. TarskiG -> ran L = ran ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) )
6	5	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( G e. TarskiG -> ( p e. ran L <-> p e. ran ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) ) )
7	6	biimpa 501	. . . 4 |- ( ( G e. TarskiG /\ p e. ran L ) -> p e. ran ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) )
8		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) = ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } )
9		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) e. _V
10	1, 9	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- P e. _V
11	10	rabex 4813	. . . . . 6 |- { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } e. _V
12	8, 11	elrnmpt2 6773	. . . . 5 |- ( p e. ran ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) <-> E. x e. P E. y e. ( P \ { x } ) p = { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } )
13		ssrab2 3687	. . . . . . . 8 |- { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } C_ P
14		sseq1 3626	. . . . . . . 8 |- ( p = { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } -> ( p C_ P <-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } C_ P ) )
15	13, 14	mpbiri 248	. . . . . . 7 |- ( p = { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } -> p C_ P )
16	15	rexlimivw 3029	. . . . . 6 |- ( E. y e. ( P \ { x } ) p = { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } -> p C_ P )
17	16	rexlimivw 3029	. . . . 5 |- ( E. x e. P E. y e. ( P \ { x } ) p = { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } -> p C_ P )
18	12, 17	sylbi 207	. . . 4 |- ( p e. ran ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) -> p C_ P )
19	7, 18	syl 17	. . 3 |- ( ( G e. TarskiG /\ p e. ran L ) -> p C_ P )
20	19	ralrimiva 2966	. 2 |- ( G e. TarskiG -> A. p e. ran L p C_ P )
21		unissb 4469	. 2 |- ( U. ran L C_ P <-> A. p e. ran L p C_ P )
22	20, 21	sylibr 224	1 |- ( G e. TarskiG -> U. ran L C_ P )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   \/ w3o 1036   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   U.cuni 4436   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Basecbs 15857  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  LineGclng 25336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-trkg 25352

This theorem is referenced by:  tglnpt  25444  tglineintmo  25537