Theorem tglnfn 25442

Description: Lines as functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglng.p	|- P = ( Base ` G )
tglng.l	|- L = (LineG ` G )
tglng.i	|- I = (Itv ` G )

Assertion

Ref	Expression
tglnfn	|- ( G e. TarskiG -> L Fn ( ( P X. P ) \ _I ) )

Proof of Theorem tglnfn

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglng.p	. . . . . . . 8 |- P = ( Base ` G )
2		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- P e. _V
4	3	rabex 4813	. . . . . 6 |- { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } e. _V
5	4	rgen2w 2925	. . . . 5 |- A. x e. P A. y e. ( P \ { x } ) { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } e. _V
6		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) = ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } )
7	6	fmpt2x 7236	. . . . 5 |- ( A. x e. P A. y e. ( P \ { x } ) { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } e. _V <-> ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) : U_ x e. P ( { x } X. ( P \ { x } ) ) --> _V )
8	5, 7	mpbi 220	. . . 4 |- ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) : U_ x e. P ( { x } X. ( P \ { x } ) ) --> _V
9		ffn 6045	. . . 4 |- ( ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) : U_ x e. P ( { x } X. ( P \ { x } ) ) --> _V -> ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) Fn U_ x e. P ( { x } X. ( P \ { x } ) ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 |- ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) Fn U_ x e. P ( { x } X. ( P \ { x } ) )
11		xpdifid 5562	. . . 4 |- U_ x e. P ( { x } X. ( P \ { x } ) ) = ( ( P X. P ) \ _I )
12	11	fneq2i 5986	. . 3 |- ( ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) Fn U_ x e. P ( { x } X. ( P \ { x } ) ) <-> ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) Fn ( ( P X. P ) \ _I ) )
13	10, 12	mpbi 220	. 2 |- ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) Fn ( ( P X. P ) \ _I )
14		tglng.l	. . . 4 |- L = (LineG ` G )
15		tglng.i	. . . 4 |- I = (Itv ` G )
16	1, 14, 15	tglng 25441	. . 3 |- ( G e. TarskiG -> L = ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) )
17	16	fneq1d 5981	. 2 |- ( G e. TarskiG -> ( L Fn ( ( P X. P ) \ _I ) <-> ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) Fn ( ( P X. P ) \ _I ) ) )
18	13, 17	mpbiri 248	1 |- ( G e. TarskiG -> L Fn ( ( P X. P ) \ _I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ w3o 1036   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   {csn 4177   U_ciun 4520   _I cid 5023   X. cxp 5112   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Basecbs 15857  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  LineGclng 25336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-trkg 25352

This theorem is referenced by:  tglngne  25445  tgelrnln  25525