Theorem tosglblem 29669

Description: Lemma for tosglb 29670 and xrsclat 29680. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.) (Revised by NM, 15-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
tosglb.b	|- B = ( Base ` K )
tosglb.l	|- .< = ( lt ` K )
tosglb.1	|- ( ph -> K e. Toset )
tosglb.2	|- ( ph -> A C_ B )
tosglb.e	|- .<_ = ( le ` K )

Assertion

Ref	Expression
tosglblem	|- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( A. b e. A a .<_ b /\ A. c e. B ( A. b e. A c .<_ b -> c .<_ a ) ) <-> ( A. b e. A -. a `' .< b /\ A. b e. B ( b `' .< a -> E. d e. A b `' .< d ) ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, c, d, .<   A, a, b, c, d   B, a, b, c, d   K, a, b, c   ph, a, b, c

Allowed substitution hints:   ph( d)   K( d)   .<_ ( a, b, c, d)

Proof of Theorem tosglblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tosglb.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. Toset )
2	1	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. A ) -> K e. Toset )
3		tosglb.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ B )
4	3	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> A C_ B )
5	4	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. A ) -> b e. B )
6		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. A ) -> a e. B )
7		tosglb.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` K )
8		tosglb.e	. . . . . . 7 |- .<_ = ( le ` K )
9		tosglb.l	. . . . . . 7 |- .< = ( lt ` K )
10	7, 8, 9	tltnle 29662	. . . . . 6 |- ( ( K e. Toset /\ b e. B /\ a e. B ) -> ( b .< a <-> -. a .<_ b ) )
11	2, 5, 6, 10	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. A ) -> ( b .< a <-> -. a .<_ b ) )
12	11	con2bid 344	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. A ) -> ( a .<_ b <-> -. b .< a ) )
13	12	ralbidva 2985	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( A. b e. A a .<_ b <-> A. b e. A -. b .< a ) )
14	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ c e. B ) /\ b e. A ) -> A C_ B )
15		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ c e. B ) /\ b e. A ) -> b e. A )
16	14, 15	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ c e. B ) /\ b e. A ) -> b e. B )
17	7, 8, 9	tltnle 29662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Toset /\ b e. B /\ c e. B ) -> ( b .< c <-> -. c .<_ b ) )
18	1, 17	syl3an1 1359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ b e. B /\ c e. B ) -> ( b .< c <-> -. c .<_ b ) )
19	18	3com23 1271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. B /\ b e. B ) -> ( b .< c <-> -. c .<_ b ) )
20	19	3expa 1265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ c e. B ) /\ b e. B ) -> ( b .< c <-> -. c .<_ b ) )
21	20	con2bid 344	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ c e. B ) /\ b e. B ) -> ( c .<_ b <-> -. b .< c ) )
22	16, 21	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ c e. B ) /\ b e. A ) -> ( c .<_ b <-> -. b .< c ) )
23	22	ralbidva 2985	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. B ) -> ( A. b e. A c .<_ b <-> A. b e. A -. b .< c ) )
24		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = d -> ( b .< c <-> d .< c ) )
25	24	notbid 308	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = d -> ( -. b .< c <-> -. d .< c ) )
26	25	cbvralv 3171	. . . . . . . . . 10 |- ( A. b e. A -. b .< c <-> A. d e. A -. d .< c )
27		ralnex 2992	. . . . . . . . . 10 |- ( A. d e. A -. d .< c <-> -. E. d e. A d .< c )
28	26, 27	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( A. b e. A -. b .< c <-> -. E. d e. A d .< c )
29	23, 28	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. B ) -> ( A. b e. A c .<_ b <-> -. E. d e. A d .< c ) )
30	29	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ c e. B ) -> ( A. b e. A c .<_ b <-> -. E. d e. A d .< c ) )
31	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ c e. B ) -> K e. Toset )
32		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ c e. B ) -> a e. B )
33		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ c e. B ) -> c e. B )
34	7, 8, 9	tltnle 29662	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Toset /\ a e. B /\ c e. B ) -> ( a .< c <-> -. c .<_ a ) )
35	31, 32, 33, 34	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ c e. B ) -> ( a .< c <-> -. c .<_ a ) )
36	35	con2bid 344	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ c e. B ) -> ( c .<_ a <-> -. a .< c ) )
37	30, 36	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ c e. B ) -> ( ( A. b e. A c .<_ b -> c .<_ a ) <-> ( -. E. d e. A d .< c -> -. a .< c ) ) )
38		con34b 306	. . . . . 6 |- ( ( a .< c -> E. d e. A d .< c ) <-> ( -. E. d e. A d .< c -> -. a .< c ) )
39	37, 38	syl6bbr 278	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ c e. B ) -> ( ( A. b e. A c .<_ b -> c .<_ a ) <-> ( a .< c -> E. d e. A d .< c ) ) )
40	39	ralbidva 2985	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( A. c e. B ( A. b e. A c .<_ b -> c .<_ a ) <-> A. c e. B ( a .< c -> E. d e. A d .< c ) ) )
41		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( b = c -> ( a .< b <-> a .< c ) )
42		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( b = c -> ( d .< b <-> d .< c ) )
43	42	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( b = c -> ( E. d e. A d .< b <-> E. d e. A d .< c ) )
44	41, 43	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( b = c -> ( ( a .< b -> E. d e. A d .< b ) <-> ( a .< c -> E. d e. A d .< c ) ) )
45	44	cbvralv 3171	. . . 4 |- ( A. b e. B ( a .< b -> E. d e. A d .< b ) <-> A. c e. B ( a .< c -> E. d e. A d .< c ) )
46	40, 45	syl6bbr 278	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( A. c e. B ( A. b e. A c .<_ b -> c .<_ a ) <-> A. b e. B ( a .< b -> E. d e. A d .< b ) ) )
47	13, 46	anbi12d 747	. 2 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( A. b e. A a .<_ b /\ A. c e. B ( A. b e. A c .<_ b -> c .<_ a ) ) <-> ( A. b e. A -. b .< a /\ A. b e. B ( a .< b -> E. d e. A d .< b ) ) ) )
48		vex 3203	. . . . . 6 |- a e. _V
49		vex 3203	. . . . . 6 |- b e. _V
50	48, 49	brcnv 5305	. . . . 5 |- ( a `' .< b <-> b .< a )
51	50	notbii 310	. . . 4 |- ( -. a `' .< b <-> -. b .< a )
52	51	ralbii 2980	. . 3 |- ( A. b e. A -. a `' .< b <-> A. b e. A -. b .< a )
53	49, 48	brcnv 5305	. . . . 5 |- ( b `' .< a <-> a .< b )
54		vex 3203	. . . . . . 7 |- d e. _V
55	49, 54	brcnv 5305	. . . . . 6 |- ( b `' .< d <-> d .< b )
56	55	rexbii 3041	. . . . 5 |- ( E. d e. A b `' .< d <-> E. d e. A d .< b )
57	53, 56	imbi12i 340	. . . 4 |- ( ( b `' .< a -> E. d e. A b `' .< d ) <-> ( a .< b -> E. d e. A d .< b ) )
58	57	ralbii 2980	. . 3 |- ( A. b e. B ( b `' .< a -> E. d e. A b `' .< d ) <-> A. b e. B ( a .< b -> E. d e. A d .< b ) )
59	52, 58	anbi12i 733	. 2 |- ( ( A. b e. A -. a `' .< b /\ A. b e. B ( b `' .< a -> E. d e. A b `' .< d ) ) <-> ( A. b e. A -. b .< a /\ A. b e. B ( a .< b -> E. d e. A d .< b ) ) )
60	47, 59	syl6bbr 278	1 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( A. b e. A a .<_ b /\ A. c e. B ( A. b e. A c .<_ b -> c .<_ a ) ) <-> ( A. b e. A -. a `' .< b /\ A. b e. B ( b `' .< a -> E. d e. A b `' .< d ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   ltcplt 16941  Tosetctos 17033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-toset 17034

This theorem is referenced by:  tosglb  29670  xrsclat  29680