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Theorem ucnval 22081
Description: The set of all uniformly continuous function from uniform space U to uniform space V. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
ucnval |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. (UnifOn ` Y ) ) -> ( U Cnu V ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. s e. V E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) } )
Distinct variable groups:   f, r, s, x, y, U   f, V, r, s, x   f, X, r, s, x, y   f, Y, r, s, x
Allowed substitution hints:   V( y)   Y( y)
Proof of Theorem ucnval
Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrnust 22028 . . . 4 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> U e. U. ran UnifOn )
21adantr 481 . . 3 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. (UnifOn ` Y ) ) -> U e. U. ran UnifOn )
3 elrnust 22028 . . . 4 |- ( V e. (UnifOn ` Y ) -> V e. U. ran UnifOn )
43adantl 482 . . 3 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. (UnifOn ` Y ) ) -> V e. U. ran UnifOn )
5 ovex 6678 . . . . 5 |- ( dom U. V ^m dom U. U ) e. _V
65rabex 4813 . . . 4 |- { f e. ( dom U. V ^m dom U. U ) | A. s e. V E. r e. U A. x e. dom U. U A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) } e. _V
76a1i 11 . . 3 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. (UnifOn ` Y ) ) -> { f e. ( dom U. V ^m dom U. U ) | A. s e. V E. r e. U A. x e. dom U. U A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) } e. _V )
8 simpr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( u = U /\ v = V ) -> v = V )
98unieqd 4446 . . . . . . 7 |- ( ( u = U /\ v = V ) -> U. v = U. V )
109dmeqd 5326 . . . . . 6 |- ( ( u = U /\ v = V ) -> dom U. v = dom U. V )
11 simpl 473 . . . . . . . 8 |- ( ( u = U /\ v = V ) -> u = U )
1211unieqd 4446 . . . . . . 7 |- ( ( u = U /\ v = V ) -> U. u = U. U )
1312dmeqd 5326 . . . . . 6 |- ( ( u = U /\ v = V ) -> dom U. u = dom U. U )
1410, 13oveq12d 6668 . . . . 5 |- ( ( u = U /\ v = V ) -> ( dom U. v ^m dom U. u ) = ( dom U. V ^m dom U. U ) )
1513raleqdv 3144 . . . . . . . 8 |- ( ( u = U /\ v = V ) -> ( A. y e. dom U. u ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) <-> A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) ) )
1613, 15raleqbidv 3152 . . . . . . 7 |- ( ( u = U /\ v = V ) -> ( A. x e. dom U. u A. y e. dom U. u ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) <-> A. x e. dom U. U A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) ) )
1711, 16rexeqbidv 3153 . . . . . 6 |- ( ( u = U /\ v = V ) -> ( E. r e. u A. x e. dom U. u A. y e. dom U. u ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) <-> E. r e. U A. x e. dom U. U A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) ) )
188, 17raleqbidv 3152 . . . . 5 |- ( ( u = U /\ v = V ) -> ( A. s e. v E. r e. u A. x e. dom U. u A. y e. dom U. u ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) <-> A. s e. V E. r e. U A. x e. dom U. U A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) ) )
1914, 18rabeqbidv 3195 . . . 4 |- ( ( u = U /\ v = V ) -> { f e. ( dom U. v ^m dom U. u ) | A. s e. v E. r e. u A. x e. dom U. u A. y e. dom U. u ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) } = { f e. ( dom U. V ^m dom U. U ) | A. s e. V E. r e. U A. x e. dom U. U A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) } )
20 df-ucn 22080 . . . 4 |- Cnu = ( u e. U. ran UnifOn , v e. U. ran UnifOn |-> { f e. ( dom U. v ^m dom U. u ) | A. s e. v E. r e. u A. x e. dom U. u A. y e. dom U. u ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) } )
2119, 20ovmpt2ga 6790 . . 3 |- ( ( U e. U. ran UnifOn /\ V e. U. ran UnifOn /\ { f e. ( dom U. V ^m dom U. U ) | A. s e. V E. r e. U A. x e. dom U. U A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) } e. _V ) -> ( U Cnu V ) = { f e. ( dom U. V ^m dom U. U ) | A. s e. V E. r e. U A. x e. dom U. U A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) } )
222, 4, 7, 21syl3anc 1326 . 2 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. (UnifOn ` Y ) ) -> ( U Cnu V ) = { f e. ( dom U. V ^m dom U. U ) | A. s e. V E. r e. U A. x e. dom U. U A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) } )
23 ustbas2 22029 . . . 4 |- ( V e. (UnifOn ` Y ) -> Y = dom U. V )
24 ustbas2 22029 . . . 4 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> X = dom U. U )
2523, 24oveqan12rd 6670 . . 3 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. (UnifOn ` Y ) ) -> ( Y ^m X ) = ( dom U. V ^m dom U. U ) )
2624adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. (UnifOn ` Y ) ) -> X = dom U. U )
2726raleqdv 3144 . . . . . 6 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. (UnifOn ` Y ) ) -> ( A. y e. X ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) <-> A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) ) )
2826, 27raleqbidv 3152 . . . . 5 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. (UnifOn ` Y ) ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) <-> A. x e. dom U. U A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) ) )
2928rexbidv 3052 . . . 4 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. (UnifOn ` Y ) ) -> ( E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) <-> E. r e. U A. x e. dom U. U A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) ) )
3029ralbidv 2986 . . 3 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. (UnifOn ` Y ) ) -> ( A. s e. V E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) <-> A. s e. V E. r e. U A. x e. dom U. U A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) ) )
3125, 30rabeqbidv 3195 . 2 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. (UnifOn ` Y ) ) -> { f e. ( Y ^m X ) | A. s e. V E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) } = { f e. ( dom U. V ^m dom U. U ) | A. s e. V E. r e. U A. x e. dom U. U A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) } )
3222, 31eqtr4d 2659 1 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. (UnifOn ` Y ) ) -> ( U Cnu V ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. s e. V E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857  UnifOncust 22003   Cnucucn 22079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-ust 22004  df-ucn 22080
This theorem is referenced by:  isucn  22082
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