Theorem isucn 22082

Description: The predicate " F is a uniformly continuous function from uniform space U to uniform space V." (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
isucn	|- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. (UnifOn ` Y ) ) -> ( F e. ( U Cnu V ) <-> ( F : X --> Y /\ A. s e. V E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   s, r, x, y, F   U, r, s, x, y   V, r, s, x   X, r, s, x, y   Y, r, s, x

Allowed substitution hints:   V( y)   Y( y)

Proof of Theorem isucn

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ucnval 22081	. . . 4 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. (UnifOn ` Y ) ) -> ( U Cnu V ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. s e. V E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) } )
2	1	eleq2d 2687	. . 3 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. (UnifOn ` Y ) ) -> ( F e. ( U Cnu V ) <-> F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. s e. V E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) } ) )
3		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
4		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f ` y ) = ( F ` y ) )
5	3, 4	breq12d 4666	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( f ` x ) s ( f ` y ) <-> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) )
6	5	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) <-> ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
7	6	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( A. y e. X ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) <-> A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
8	7	rexralbidv 3058	. . . . 5 |- ( f = F -> ( E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) <-> E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
9	8	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( f = F -> ( A. s e. V E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) <-> A. s e. V E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
10	9	elrab 3363	. . 3 |- ( F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. s e. V E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) } <-> ( F e. ( Y ^m X ) /\ A. s e. V E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
11	2, 10	syl6bb 276	. 2 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. (UnifOn ` Y ) ) -> ( F e. ( U Cnu V ) <-> ( F e. ( Y ^m X ) /\ A. s e. V E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) ) )
12		elfvex 6221	. . . 4 |- ( V e. (UnifOn ` Y ) -> Y e. _V )
13		elfvex 6221	. . . 4 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> X e. _V )
14		elmapg 7870	. . . 4 |- ( ( Y e. _V /\ X e. _V ) -> ( F e. ( Y ^m X ) <-> F : X --> Y ) )
15	12, 13, 14	syl2anr 495	. . 3 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. (UnifOn ` Y ) ) -> ( F e. ( Y ^m X ) <-> F : X --> Y ) )
16	15	anbi1d 741	. 2 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. (UnifOn ` Y ) ) -> ( ( F e. ( Y ^m X ) /\ A. s e. V E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. s e. V E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) ) )
17	11, 16	bitrd 268	1 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. (UnifOn ` Y ) ) -> ( F e. ( U Cnu V ) <-> ( F : X --> Y /\ A. s e. V E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857  UnifOncust 22003   Cn_ucucn 22079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-ust 22004  df-ucn 22080

This theorem is referenced by:  isucn2  22083  ucnima  22085  iducn  22087  cstucnd  22088  ucncn  22089  fmucnd  22096  ucnextcn  22108