unichnidl - Mathbox for Jeff Madsen

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Theorem unichnidl 33830

Description: The union of a nonempty chain of ideals is an ideal. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.)

**Assertion**
Ref	Expression
unichnidl	$/\$ $/\$ $/\$ $\/$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem unichnidl Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss3 3592	. . . . 5
2		eqid 2622	. . . . . . . . 9
3		eqid 2622	. . . . . . . . 9
4	2, 3	idlss 33815	. . . . . . . 8 $/\$
5	4	ex 450	. . . . . . 7
6	5	ralimdv 2963	. . . . . 6
7	6	imp 445	. . . . 5 $/\$
8	1, 7	sylan2b 492	. . . 4 $/\$
9		unissb 4469	. . . 4
10	8, 9	sylibr 224	. . 3 $/\$
11	10	3ad2antr2 1227	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
12		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 GId GId
13	2, 12	idl0cl 33817	. . . . . . . . . 10 $/\$ GId
14	13	ex 450	. . . . . . . . 9 GId
15	14	ralimdv 2963	. . . . . . . 8 GId
16	15	imp 445	. . . . . . 7 $/\$ GId
17	1, 16	sylan2b 492	. . . . . 6 $/\$ GId
18		r19.2z 4060	. . . . . 6 $/\$ GId GId
19	17, 18	sylan2 491	. . . . 5 $/\$ $/\$ GId
20	19	an12s 843	. . . 4 $/\$ $/\$ GId
21		eluni2 4440	. . . 4 GId GId
22	20, 21	sylibr 224	. . 3 $/\$ $/\$ GId
23	22	3adantr3 1222	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ GId
24		eluni2 4440	. . . 4
25		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . 16
26		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . . 16
27	25, 26	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$ $\/$
28	27	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $\/$
29	28	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $\/$
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $\/$
31	30	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
32	31	imp 445	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
33		eluni2 4440	. . . . . . . . . . . 12
34		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
35		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
36	34, 35	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\/$ $\/$
37	36	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\/$ $\/$
38	37	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
39	38	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
40		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
41	40	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
42	41	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
43		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
44	2	idladdcl 33818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
45	44	ancom2s 844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
46	45	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
47	46	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
48	43, 47	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
49	48	an42s 870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
50	49	anasss 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
51	50	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
53	52	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54		elunii 4441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
55	51, 53, 54	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	42, 55	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	56	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	58	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	59	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
62	61	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
63	62	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
64		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
65	2	idladdcl 33818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
66	65	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
67	66	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
68	64, 67	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
69	68	an42s 870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
70	69	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
71	70	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
73	72	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74		elunii 4441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
75	71, 73, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	63, 75	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	76	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	60, 77	jaodan 826	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
79	39, 78	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
80	79	an32s 846	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
81	80	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
82	33, 81	syl5bi 232	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
83	82	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
84	32, 83	syldan 487	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
85	84	anasss 679	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
86	85	3adantr1 1220	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
87	86	an32s 846	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
88		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
89	2, 88, 3	idllmulcl 33819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
90	89	exp43 640	. . . . . . . . . . . . . . . 16
91	90	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15
92	91	imp41 619	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
93	64, 92	sylanl2 683	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95		elunii 4441	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
96	93, 94, 95	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	2, 88, 3	idlrmulcl 33820	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
98	97	exp43 640	. . . . . . . . . . . . . . . 16
99	98	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15
100	99	imp41 619	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
101	64, 100	sylanl2 683	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		elunii 4441	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
103	101, 94, 102	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	96, 103	jca 554	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	104	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	105	an42s 870	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	106	an32s 846	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	107	3ad2antr2 1227	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
109	108	an32s 846	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
110	87, 109	jca 554	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	110	rexlimdvaa 3032	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
112	24, 111	syl5bi 232	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
113	112	ralrimiv 2965	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
114	2, 88, 3, 12	isidl 33813	. . 3 $/\$ GId $/\$ $/\$ $/\$
115	114	adantr 481	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ GId $/\$ $/\$ $/\$
116	11, 23, 113, 115	mpbir3and 1245	1 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

wss 3574

c0 3915

cuni 4436

crn 5115

cfv 5888 (class class class)co 6650

c1st 7166

c2nd 7167 GIdcgi 27344

crngo 33693

cidl 33806

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fv 5896 df-ov 6653 df-idl 33809

This theorem is referenced by: (None)

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