Theorem uniinqs 7827

Description: Class union distributes over the intersection of two subclasses of a quotient space. Compare uniin 4457. (Contributed by FL, 25-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
uniinqs.1	|- R Er X

Assertion

Ref	Expression
uniinqs	|- ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) -> U. ( B i^i C ) = ( U. B i^i U. C ) )

Proof of Theorem uniinqs

Dummy variables b c x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniin 4457	. . 3 |- U. ( B i^i C ) C_ ( U. B i^i U. C )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) -> U. ( B i^i C ) C_ ( U. B i^i U. C ) )
3		eluni2 4440	. . . . . 6 |- ( x e. U. B <-> E. b e. B x e. b )
4		eluni2 4440	. . . . . 6 |- ( x e. U. C <-> E. c e. C x e. c )
5	3, 4	anbi12i 733	. . . . 5 |- ( ( x e. U. B /\ x e. U. C ) <-> ( E. b e. B x e. b /\ E. c e. C x e. c ) )
6		elin 3796	. . . . 5 |- ( x e. ( U. B i^i U. C ) <-> ( x e. U. B /\ x e. U. C ) )
7		reeanv 3107	. . . . 5 |- ( E. b e. B E. c e. C ( x e. b /\ x e. c ) <-> ( E. b e. B x e. b /\ E. c e. C x e. c ) )
8	5, 6, 7	3bitr4i 292	. . . 4 |- ( x e. ( U. B i^i U. C ) <-> E. b e. B E. c e. C ( x e. b /\ x e. c ) )
9		simp3l 1089	. . . . . . 7 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> x e. b )
10		simp2l 1087	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> b e. B )
11		inelcm 4032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. b /\ x e. c ) -> ( b i^i c ) =/= (/) )
12	11	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> ( b i^i c ) =/= (/) )
13		uniinqs.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- R Er X
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> R Er X )
15		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> B C_ ( A /. R ) )
16	15, 10	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> b e. ( A /. R ) )
17		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> C C_ ( A /. R ) )
18		simp2r 1088	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> c e. C )
19	17, 18	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> c e. ( A /. R ) )
20	14, 16, 19	qsdisj 7824	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> ( b = c \/ ( b i^i c ) = (/) ) )
21	20	ord 392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> ( -. b = c -> ( b i^i c ) = (/) ) )
22	21	necon1ad 2811	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> ( ( b i^i c ) =/= (/) -> b = c ) )
23	12, 22	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> b = c )
24	23, 18	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> b e. C )
25	10, 24	elind 3798	. . . . . . 7 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> b e. ( B i^i C ) )
26		elunii 4441	. . . . . . 7 |- ( ( x e. b /\ b e. ( B i^i C ) ) -> x e. U. ( B i^i C ) )
27	9, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> x e. U. ( B i^i C ) )
28	27	3expia 1267	. . . . 5 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( ( x e. b /\ x e. c ) -> x e. U. ( B i^i C ) ) )
29	28	rexlimdvva 3038	. . . 4 |- ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) -> ( E. b e. B E. c e. C ( x e. b /\ x e. c ) -> x e. U. ( B i^i C ) ) )
30	8, 29	syl5bi 232	. . 3 |- ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) -> ( x e. ( U. B i^i U. C ) -> x e. U. ( B i^i C ) ) )
31	30	ssrdv 3609	. 2 |- ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) -> ( U. B i^i U. C ) C_ U. ( B i^i C ) )
32	2, 31	eqssd 3620	1 |- ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) -> U. ( B i^i C ) = ( U. B i^i U. C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   Er wer 7739   /.cqs 7741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748

This theorem is referenced by: (None)