Theorem unipreima 29446

Description: Preimage of a class union. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
unipreima	|- ( Fun F -> ( `' F " U. A ) = U_ x e. A ( `' F " x ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, A

Proof of Theorem unipreima

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 5918	. 2 |- ( Fun F <-> F Fn dom F )
2		r19.42v 3092	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A ( y e. dom F /\ ( F ` y ) e. x ) <-> ( y e. dom F /\ E. x e. A ( F ` y ) e. x ) )
3	2	bicomi 214	. . . . . 6 |- ( ( y e. dom F /\ E. x e. A ( F ` y ) e. x ) <-> E. x e. A ( y e. dom F /\ ( F ` y ) e. x ) )
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( F Fn dom F -> ( ( y e. dom F /\ E. x e. A ( F ` y ) e. x ) <-> E. x e. A ( y e. dom F /\ ( F ` y ) e. x ) ) )
5		eluni2 4440	. . . . . . 7 |- ( ( F ` y ) e. U. A <-> E. x e. A ( F ` y ) e. x )
6	5	anbi2i 730	. . . . . 6 |- ( ( y e. dom F /\ ( F ` y ) e. U. A ) <-> ( y e. dom F /\ E. x e. A ( F ` y ) e. x ) )
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( F Fn dom F -> ( ( y e. dom F /\ ( F ` y ) e. U. A ) <-> ( y e. dom F /\ E. x e. A ( F ` y ) e. x ) ) )
8		elpreima 6337	. . . . . 6 |- ( F Fn dom F -> ( y e. ( `' F " x ) <-> ( y e. dom F /\ ( F ` y ) e. x ) ) )
9	8	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( F Fn dom F -> ( E. x e. A y e. ( `' F " x ) <-> E. x e. A ( y e. dom F /\ ( F ` y ) e. x ) ) )
10	4, 7, 9	3bitr4d 300	. . . 4 |- ( F Fn dom F -> ( ( y e. dom F /\ ( F ` y ) e. U. A ) <-> E. x e. A y e. ( `' F " x ) ) )
11		elpreima 6337	. . . 4 |- ( F Fn dom F -> ( y e. ( `' F " U. A ) <-> ( y e. dom F /\ ( F ` y ) e. U. A ) ) )
12		eliun 4524	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. A ( `' F " x ) <-> E. x e. A y e. ( `' F " x ) )
13	12	a1i 11	. . . 4 |- ( F Fn dom F -> ( y e. U_ x e. A ( `' F " x ) <-> E. x e. A y e. ( `' F " x ) ) )
14	10, 11, 13	3bitr4d 300	. . 3 |- ( F Fn dom F -> ( y e. ( `' F " U. A ) <-> y e. U_ x e. A ( `' F " x ) ) )
15	14	eqrdv 2620	. 2 |- ( F Fn dom F -> ( `' F " U. A ) = U_ x e. A ( `' F " x ) )
16	1, 15	sylbi 207	1 |- ( Fun F -> ( `' F " U. A ) = U_ x e. A ( `' F " x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   U.cuni 4436   U_ciun 4520   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  imambfm  30324  dstrvprob  30533