Theorem imambfm 30324

Description: If the sigma-algebra in the range of a given function is generated by a collection of basic sets K, then to check the measurability of that function, we need only consider inverse images of basic sets a. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
imambfm.1	|- ( ph -> K e. _V )
imambfm.2	|- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
imambfm.3	|- ( ph -> T = (sigaGen ` K ) )

Assertion

Ref	Expression
imambfm	|- ( ph -> ( F e. ( SMblFnM T ) <-> ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) )

Distinct variable groups:   F, a   K, a   S, a   T, a   ph, a

Proof of Theorem imambfm

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imambfm.2	. . . . 5 |- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
2	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ F e. ( SMblFnM T ) ) -> S e. U. ran sigAlgebra )
3		imambfm.3	. . . . . 6 |- ( ph -> T = (sigaGen ` K ) )
4		imambfm.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. _V )
5	4	sgsiga 30205	. . . . . 6 |- ( ph -> (sigaGen ` K ) e. U. ran sigAlgebra )
6	3, 5	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ph -> T e. U. ran sigAlgebra )
7	6	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ F e. ( SMblFnM T ) ) -> T e. U. ran sigAlgebra )
8		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ F e. ( SMblFnM T ) ) -> F e. ( SMblFnM T ) )
9	2, 7, 8	mbfmf 30317	. . 3 |- ( ( ph /\ F e. ( SMblFnM T ) ) -> F : U. S --> U. T )
10	1	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F e. ( SMblFnM T ) ) /\ a e. K ) -> S e. U. ran sigAlgebra )
11	6	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F e. ( SMblFnM T ) ) /\ a e. K ) -> T e. U. ran sigAlgebra )
12		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F e. ( SMblFnM T ) ) /\ a e. K ) -> F e. ( SMblFnM T ) )
13		sssigagen 30208	. . . . . . . . 9 |- ( K e. _V -> K C_ (sigaGen ` K ) )
14	4, 13	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K C_ (sigaGen ` K ) )
15	14, 3	sseqtr4d 3642	. . . . . . 7 |- ( ph -> K C_ T )
16	15	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F e. ( SMblFnM T ) ) /\ a e. K ) -> K C_ T )
17		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F e. ( SMblFnM T ) ) /\ a e. K ) -> a e. K )
18	16, 17	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F e. ( SMblFnM T ) ) /\ a e. K ) -> a e. T )
19	10, 11, 12, 18	mbfmcnvima 30319	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ F e. ( SMblFnM T ) ) /\ a e. K ) -> ( `' F " a ) e. S )
20	19	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( ph /\ F e. ( SMblFnM T ) ) -> A. a e. K ( `' F " a ) e. S )
21	9, 20	jca 554	. 2 |- ( ( ph /\ F e. ( SMblFnM T ) ) -> ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) )
22		unielsiga 30191	. . . . . 6 |- ( T e. U. ran sigAlgebra -> U. T e. T )
23	6, 22	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> U. T e. T )
24	23	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> U. T e. T )
25		unielsiga 30191	. . . . . 6 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> U. S e. S )
26	1, 25	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> U. S e. S )
27	26	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> U. S e. S )
28		simprl 794	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> F : U. S --> U. T )
29		elmapg 7870	. . . . 5 |- ( ( U. T e. T /\ U. S e. S ) -> ( F e. ( U. T ^m U. S ) <-> F : U. S --> U. T ) )
30	29	biimpar 502	. . . 4 |- ( ( ( U. T e. T /\ U. S e. S ) /\ F : U. S --> U. T ) -> F e. ( U. T ^m U. S ) )
31	24, 27, 28, 30	syl21anc 1325	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> F e. ( U. T ^m U. S ) )
32	3	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> T = (sigaGen ` K ) )
33		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> ph )
34		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . 11 |- { a e. T | ( `' F " a ) e. S } C_ T
35		pwuni 4474	. . . . . . . . . . 11 |- T C_ ~P U. T
36	34, 35	sstri 3612	. . . . . . . . . 10 |- { a e. T | ( `' F " a ) e. S } C_ ~P U. T
37	36	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> { a e. T | ( `' F " a ) e. S } C_ ~P U. T )
38		fimacnv 6347	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : U. S --> U. T -> ( `' F " U. T ) = U. S )
39	38	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> ( `' F " U. T ) = U. S )
40	39, 27	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> ( `' F " U. T ) e. S )
41		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = U. T -> ( `' F " a ) = ( `' F " U. T ) )
42	41	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = U. T -> ( ( `' F " a ) e. S <-> ( `' F " U. T ) e. S ) )
43	42	elrab 3363	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. T e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } <-> ( U. T e. T /\ ( `' F " U. T ) e. S ) )
44	24, 40, 43	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> U. T e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } )
45	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) -> T e. U. ran sigAlgebra )
46	45, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) -> U. T e. T )
47		elrabi 3359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } -> x e. T )
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) -> x e. T )
49		difelsiga 30196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. U. ran sigAlgebra /\ U. T e. T /\ x e. T ) -> ( U. T \ x ) e. T )
50	45, 46, 48, 49	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) -> ( U. T \ x ) e. T )
51		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) -> F : U. S --> U. T )
52		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : U. S --> U. T -> Fun F )
53		difpreima 6343	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun F -> ( `' F " ( U. T \ x ) ) = ( ( `' F " U. T ) \ ( `' F " x ) ) )
54	51, 52, 53	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) -> ( `' F " ( U. T \ x ) ) = ( ( `' F " U. T ) \ ( `' F " x ) ) )
55	39	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> ( ( `' F " U. T ) \ ( `' F " x ) ) = ( U. S \ ( `' F " x ) ) )
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) -> ( ( `' F " U. T ) \ ( `' F " x ) ) = ( U. S \ ( `' F " x ) ) )
57	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) -> S e. U. ran sigAlgebra )
58	57, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) -> U. S e. S )
59		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = x -> ( `' F " a ) = ( `' F " x ) )
60	59	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = x -> ( ( `' F " a ) e. S <-> ( `' F " x ) e. S ) )
61	60	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } <-> ( x e. T /\ ( `' F " x ) e. S ) )
62	61	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } -> ( `' F " x ) e. S )
63	62	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) -> ( `' F " x ) e. S )
64		difelsiga 30196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ U. S e. S /\ ( `' F " x ) e. S ) -> ( U. S \ ( `' F " x ) ) e. S )
65	57, 58, 63, 64	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) -> ( U. S \ ( `' F " x ) ) e. S )
66	56, 65	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) -> ( ( `' F " U. T ) \ ( `' F " x ) ) e. S )
67	54, 66	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) -> ( `' F " ( U. T \ x ) ) e. S )
68		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( U. T \ x ) -> ( `' F " a ) = ( `' F " ( U. T \ x ) ) )
69	68	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( U. T \ x ) -> ( ( `' F " a ) e. S <-> ( `' F " ( U. T \ x ) ) e. S ) )
70	69	elrab 3363	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U. T \ x ) e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } <-> ( ( U. T \ x ) e. T /\ ( `' F " ( U. T \ x ) ) e. S ) )
71	50, 67, 70	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) -> ( U. T \ x ) e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } )
72	71	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> A. x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ( U. T \ x ) e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } )
73	6	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) /\ x ~<_ om ) -> T e. U. ran sigAlgebra )
74		sspwb 4917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { a e. T | ( `' F " a ) e. S } C_ T <-> ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } C_ ~P T )
75	34, 74	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } C_ ~P T
76	75	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } -> x e. ~P T )
77	76	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) /\ x ~<_ om ) -> x e. ~P T )
78		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) /\ x ~<_ om ) -> x ~<_ om )
79		sigaclcu 30180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T e. U. ran sigAlgebra /\ x e. ~P T /\ x ~<_ om ) -> U. x e. T )
80	73, 77, 78, 79	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) /\ x ~<_ om ) -> U. x e. T )
81		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) /\ x ~<_ om ) -> ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) )
82	81	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) /\ x ~<_ om ) -> F : U. S --> U. T )
83		unipreima 29446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun F -> ( `' F " U. x ) = U_ y e. x ( `' F " y ) )
84	82, 52, 83	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) /\ x ~<_ om ) -> ( `' F " U. x ) = U_ y e. x ( `' F " y ) )
85	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) /\ x ~<_ om ) -> S e. U. ran sigAlgebra )
86		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) /\ x ~<_ om ) /\ y e. x ) -> y e. x )
87		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) /\ x ~<_ om ) /\ y e. x ) -> x e. ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } )
88		elelpwi 4171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. x /\ x e. ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) -> y e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } )
89	86, 87, 88	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) /\ x ~<_ om ) /\ y e. x ) -> y e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } )
90		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = y -> ( `' F " a ) = ( `' F " y ) )
91	90	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = y -> ( ( `' F " a ) e. S <-> ( `' F " y ) e. S ) )
92	91	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } <-> ( y e. T /\ ( `' F " y ) e. S ) )
93	92	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } -> ( `' F " y ) e. S )
94	89, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) /\ x ~<_ om ) /\ y e. x ) -> ( `' F " y ) e. S )
95	94	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) /\ x ~<_ om ) -> A. y e. x ( `' F " y ) e. S )
96		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ y x
97	96	sigaclcuni 30181	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. y e. x ( `' F " y ) e. S /\ x ~<_ om ) -> U_ y e. x ( `' F " y ) e. S )
98	85, 95, 78, 97	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) /\ x ~<_ om ) -> U_ y e. x ( `' F " y ) e. S )
99	84, 98	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) /\ x ~<_ om ) -> ( `' F " U. x ) e. S )
100		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = U. x -> ( `' F " a ) = ( `' F " U. x ) )
101	100	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = U. x -> ( ( `' F " a ) e. S <-> ( `' F " U. x ) e. S ) )
102	101	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U. x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } <-> ( U. x e. T /\ ( `' F " U. x ) e. S ) )
103	80, 99, 102	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) /\ x ~<_ om ) -> U. x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } )
104	103	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) /\ x e. ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) -> ( x ~<_ om -> U. x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) )
105	104	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> A. x e. ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ( x ~<_ om -> U. x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) )
106	44, 72, 105	3jca 1242	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> ( U. T e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } /\ A. x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ( U. T \ x ) e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } /\ A. x e. ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ( x ~<_ om -> U. x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) ) )
107		rabexg 4812	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. U. ran sigAlgebra -> { a e. T | ( `' F " a ) e. S } e. _V )
108		issiga 30174	. . . . . . . . . . 11 |- ( { a e. T | ( `' F " a ) e. S } e. _V -> ( { a e. T | ( `' F " a ) e. S } e. (sigAlgebra ` U. T ) <-> ( { a e. T | ( `' F " a ) e. S } C_ ~P U. T /\ ( U. T e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } /\ A. x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ( U. T \ x ) e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } /\ A. x e. ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ( x ~<_ om -> U. x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) ) ) ) )
109	6, 107, 108	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( { a e. T | ( `' F " a ) e. S } e. (sigAlgebra ` U. T ) <-> ( { a e. T | ( `' F " a ) e. S } C_ ~P U. T /\ ( U. T e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } /\ A. x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ( U. T \ x ) e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } /\ A. x e. ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ( x ~<_ om -> U. x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) ) ) ) )
110	109	biimpar 502	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( { a e. T | ( `' F " a ) e. S } C_ ~P U. T /\ ( U. T e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } /\ A. x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ( U. T \ x ) e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } /\ A. x e. ~P { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ( x ~<_ om -> U. x e. { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) ) ) ) -> { a e. T | ( `' F " a ) e. S } e. (sigAlgebra ` U. T ) )
111	33, 37, 106, 110	syl12anc 1324	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> { a e. T | ( `' F " a ) e. S } e. (sigAlgebra ` U. T ) )
112	3	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U. T = U. (sigaGen ` K ) )
113		unisg 30206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. _V -> U. (sigaGen ` K ) = U. K )
114	4, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U. (sigaGen ` K ) = U. K )
115	112, 114	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U. T = U. K )
116	115	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (sigAlgebra ` U. T ) = (sigAlgebra ` U. K ) )
117	116	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( { a e. T | ( `' F " a ) e. S } e. (sigAlgebra ` U. T ) <-> { a e. T | ( `' F " a ) e. S } e. (sigAlgebra ` U. K ) ) )
118	117	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> ( { a e. T | ( `' F " a ) e. S } e. (sigAlgebra ` U. T ) <-> { a e. T | ( `' F " a ) e. S } e. (sigAlgebra ` U. K ) ) )
119	111, 118	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> { a e. T | ( `' F " a ) e. S } e. (sigAlgebra ` U. K ) )
120	15	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> K C_ T )
121		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> A. a e. K ( `' F " a ) e. S )
122		ssrab 3680	. . . . . . . 8 |- ( K C_ { a e. T | ( `' F " a ) e. S } <-> ( K C_ T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) )
123	120, 121, 122	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> K C_ { a e. T | ( `' F " a ) e. S } )
124		sigagenss 30212	. . . . . . 7 |- ( ( { a e. T | ( `' F " a ) e. S } e. (sigAlgebra ` U. K ) /\ K C_ { a e. T | ( `' F " a ) e. S } ) -> (sigaGen ` K ) C_ { a e. T | ( `' F " a ) e. S } )
125	119, 123, 124	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> (sigaGen ` K ) C_ { a e. T | ( `' F " a ) e. S } )
126	32, 125	eqsstrd 3639	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> T C_ { a e. T | ( `' F " a ) e. S } )
127	34	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> { a e. T | ( `' F " a ) e. S } C_ T )
128	126, 127	eqssd 3620	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> T = { a e. T | ( `' F " a ) e. S } )
129		rabid2 3118	. . . 4 |- ( T = { a e. T | ( `' F " a ) e. S } <-> A. a e. T ( `' F " a ) e. S )
130	128, 129	sylib 208	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> A. a e. T ( `' F " a ) e. S )
131	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> S e. U. ran sigAlgebra )
132	6	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> T e. U. ran sigAlgebra )
133	131, 132	ismbfm 30314	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> ( F e. ( SMblFnM T ) <-> ( F e. ( U. T ^m U. S ) /\ A. a e. T ( `' F " a ) e. S ) ) )
134	31, 130, 133	mpbir2and 957	. 2 |- ( ( ph /\ ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) -> F e. ( SMblFnM T ) )
135	21, 134	impbida 877	1 |- ( ph -> ( F e. ( SMblFnM T ) <-> ( F : U. S --> U. T /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ^m cmap 7857   ~<_ cdom 7953  sigAlgebracsiga 30170  sigaGencsigagen 30201  MblFnMcmbfm 30312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-siga 30171  df-sigagen 30202  df-mbfm 30313

This theorem is referenced by:  cnmbfm  30325  mbfmco2  30327