Theorem wfisg 5715

Description: Well-Founded Induction Schema. If a property passes from all elements less than y of a well-founded class A to y itself (induction hypothesis), then the property holds for all elements of A. (Contributed by Scott Fenton, 11-Feb-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
wfisg.1	|- ( y e. A -> ( A. z e. Pred ( R , A , y ) [. z / y ]. ph -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
wfisg	|- ( ( R We A /\ R Se A ) -> A. y e. A ph )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, z   y, R, z

Allowed substitution hint:   ph( y)

Proof of Theorem wfisg

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3687	. . 3 |- { y e. A | ph } C_ A
2		dfss3 3592	. . . . . . . 8 |- ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } <-> A. z e. Pred ( R , A , w ) z e. { y e. A | ph } )
3		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y A
4	3	elrabsf 3474	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { y e. A | ph } <-> ( z e. A /\ [. z / y ]. ph ) )
5	4	simprbi 480	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { y e. A | ph } -> [. z / y ]. ph )
6	5	ralimi 2952	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. Pred ( R , A , w ) z e. { y e. A | ph } -> A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph )
7	2, 6	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } -> A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph )
8		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ y w e. A
9		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y Pred ( R , A , w )
10		nfsbc1v 3455	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y [. z / y ]. ph
11	9, 10	nfral 2945	. . . . . . . . . 10 |- F/ y A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph
12		nfsbc1v 3455	. . . . . . . . . 10 |- F/ y [. w / y ]. ph
13	11, 12	nfim 1825	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph -> [. w / y ]. ph )
14	8, 13	nfim 1825	. . . . . . . 8 |- F/ y ( w e. A -> ( A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph -> [. w / y ]. ph ) )
15		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( y e. A <-> w e. A ) )
16		predeq3 5684	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = w -> Pred ( R , A , y ) = Pred ( R , A , w ) )
17	16	raleqdv 3144	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( A. z e. Pred ( R , A , y ) [. z / y ]. ph <-> A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph ) )
18		sbceq1a 3446	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( ph <-> [. w / y ]. ph ) )
19	17, 18	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( ( A. z e. Pred ( R , A , y ) [. z / y ]. ph -> ph ) <-> ( A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph -> [. w / y ]. ph ) ) )
20	15, 19	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( y = w -> ( ( y e. A -> ( A. z e. Pred ( R , A , y ) [. z / y ]. ph -> ph ) ) <-> ( w e. A -> ( A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph -> [. w / y ]. ph ) ) ) )
21		wfisg.1	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> ( A. z e. Pred ( R , A , y ) [. z / y ]. ph -> ph ) )
22	14, 20, 21	chvar 2262	. . . . . . 7 |- ( w e. A -> ( A. z e. Pred ( R , A , w ) [. z / y ]. ph -> [. w / y ]. ph ) )
23	7, 22	syl5 34	. . . . . 6 |- ( w e. A -> ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } -> [. w / y ]. ph ) )
24	23	anc2li 580	. . . . 5 |- ( w e. A -> ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } -> ( w e. A /\ [. w / y ]. ph ) ) )
25	3	elrabsf 3474	. . . . 5 |- ( w e. { y e. A | ph } <-> ( w e. A /\ [. w / y ]. ph ) )
26	24, 25	syl6ibr 242	. . . 4 |- ( w e. A -> ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } -> w e. { y e. A | ph } ) )
27	26	rgen 2922	. . 3 |- A. w e. A ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } -> w e. { y e. A | ph } )
28		wfi 5713	. . 3 |- ( ( ( R We A /\ R Se A ) /\ ( { y e. A | ph } C_ A /\ A. w e. A ( Pred ( R , A , w ) C_ { y e. A | ph } -> w e. { y e. A | ph } ) ) ) -> A = { y e. A | ph } )
29	1, 27, 28	mpanr12 721	. 2 |- ( ( R We A /\ R Se A ) -> A = { y e. A | ph } )
30		rabid2 3118	. 2 |- ( A = { y e. A | ph } <-> A. y e. A ph )
31	29, 30	sylib 208	1 |- ( ( R We A /\ R Se A ) -> A. y e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   [.wsbc 3435   C_ wss 3574   Se wse 5071   We wwe 5072   Predcpred 5679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680

This theorem is referenced by:  wfis  5716  wfis2fg  5717