Theorem wrdval 13308

Description: Value of the set of words over a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
wrdval	|- ( S e. V -> Word S = U_ l e. NN0 ( S ^m ( 0..^ l ) ) )

Distinct variable groups:   S, l   V, l

Proof of Theorem wrdval

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 4524	. . . 4 |- ( w e. U_ l e. NN0 ( S ^m ( 0..^ l ) ) <-> E. l e. NN0 w e. ( S ^m ( 0..^ l ) ) )
2		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( 0..^ l ) e. _V
3		elmapg 7870	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ ( 0..^ l ) e. _V ) -> ( w e. ( S ^m ( 0..^ l ) ) <-> w : ( 0..^ l ) --> S ) )
4	2, 3	mpan2 707	. . . . 5 |- ( S e. V -> ( w e. ( S ^m ( 0..^ l ) ) <-> w : ( 0..^ l ) --> S ) )
5	4	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( S e. V -> ( E. l e. NN0 w e. ( S ^m ( 0..^ l ) ) <-> E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S ) )
6	1, 5	syl5bb 272	. . 3 |- ( S e. V -> ( w e. U_ l e. NN0 ( S ^m ( 0..^ l ) ) <-> E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S ) )
7	6	abbi2dv 2742	. 2 |- ( S e. V -> U_ l e. NN0 ( S ^m ( 0..^ l ) ) = { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S } )
8		df-word 13299	. 2 |- Word S = { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S }
9	7, 8	syl6reqr 2675	1 |- ( S e. V -> Word S = U_ l e. NN0 ( S ^m ( 0..^ l ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   U_ciun 4520   -->wf 5884  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   0cc0 9936   NN0cn0 11292  ..^cfzo 12465  Word cword 13291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-word 13299

This theorem is referenced by:  wrdexg  13315