Theorem xp1en 8046

Description: One times a cardinal number. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xp1en	|- ( A e. V -> ( A X. 1o ) ~~ A )

Proof of Theorem xp1en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 7572	. . 3 |- 1o = { (/) }
2	1	xpeq2i 5136	. 2 |- ( A X. 1o ) = ( A X. { (/) } )
3		0ex 4790	. . 3 |- (/) e. _V
4		xpsneng 8045	. . 3 |- ( ( A e. V /\ (/) e. _V ) -> ( A X. { (/) } ) ~~ A )
5	3, 4	mpan2 707	. 2 |- ( A e. V -> ( A X. { (/) } ) ~~ A )
6	2, 5	syl5eqbr 4688	1 |- ( A e. V -> ( A X. 1o ) ~~ A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   1oc1o 7553   ~~ cen 7952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-suc 5729  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-1o 7560  df-en 7956

This theorem is referenced by: (None)