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Theorem xpmapenlem 8127
Description: Lemma for xpmapen 8128. (Contributed by NM, 1-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
xpmapen.1 |- A e. _V
xpmapen.2 |- B e. _V
xpmapen.3 |- C e. _V
xpmapenlem.4 |- D = ( z e. C |-> ( 1st ` ( x ` z ) ) )
xpmapenlem.5 |- R = ( z e. C |-> ( 2nd ` ( x ` z ) ) )
xpmapenlem.6 |- S = ( z e. C |-> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. )
Assertion
Ref Expression
xpmapenlem |- ( ( A X. B ) ^m C ) ~~ ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) )
Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z   y, D, z   y, R, z   x, S, z
Allowed substitution hints:   D( x)   R( x)   S( y)
Proof of Theorem xpmapenlem
StepHypRef Expression
1 ovex 6678 . 2 |- ( ( A X. B ) ^m C ) e. _V
2 ovex 6678 . . 3 |- ( A ^m C ) e. _V
3 ovex 6678 . . 3 |- ( B ^m C ) e. _V
42, 3xpex 6962 . 2 |- ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) e. _V
5 xpmapen.1 . . . . . . . . 9 |- A e. _V
6 xpmapen.2 . . . . . . . . 9 |- B e. _V
75, 6xpex 6962 . . . . . . . 8 |- ( A X. B ) e. _V
8 xpmapen.3 . . . . . . . 8 |- C e. _V
97, 8elmap 7886 . . . . . . 7 |- ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) <-> x : C --> ( A X. B ) )
10 ffvelrn 6357 . . . . . . 7 |- ( ( x : C --> ( A X. B ) /\ z e. C ) -> ( x ` z ) e. ( A X. B ) )
119, 10sylanb 489 . . . . . 6 |- ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ z e. C ) -> ( x ` z ) e. ( A X. B ) )
12 xp1st 7198 . . . . . 6 |- ( ( x ` z ) e. ( A X. B ) -> ( 1st ` ( x ` z ) ) e. A )
1311, 12syl 17 . . . . 5 |- ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ z e. C ) -> ( 1st ` ( x ` z ) ) e. A )
14 xpmapenlem.4 . . . . 5 |- D = ( z e. C |-> ( 1st ` ( x ` z ) ) )
1513, 14fmptd 6385 . . . 4 |- ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) -> D : C --> A )
165, 8elmap 7886 . . . 4 |- ( D e. ( A ^m C ) <-> D : C --> A )
1715, 16sylibr 224 . . 3 |- ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) -> D e. ( A ^m C ) )
18 xp2nd 7199 . . . . . 6 |- ( ( x ` z ) e. ( A X. B ) -> ( 2nd ` ( x ` z ) ) e. B )
1911, 18syl 17 . . . . 5 |- ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ z e. C ) -> ( 2nd ` ( x ` z ) ) e. B )
20 xpmapenlem.5 . . . . 5 |- R = ( z e. C |-> ( 2nd ` ( x ` z ) ) )
2119, 20fmptd 6385 . . . 4 |- ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) -> R : C --> B )
226, 8elmap 7886 . . . 4 |- ( R e. ( B ^m C ) <-> R : C --> B )
2321, 22sylibr 224 . . 3 |- ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) -> R e. ( B ^m C ) )
24 opelxpi 5148 . . 3 |- ( ( D e. ( A ^m C ) /\ R e. ( B ^m C ) ) -> <. D , R >. e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) )
2517, 23, 24syl2anc 693 . 2 |- ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) -> <. D , R >. e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) )
26 xp1st 7198 . . . . . . 7 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> ( 1st ` y ) e. ( A ^m C ) )
275, 8elmap 7886 . . . . . . 7 |- ( ( 1st ` y ) e. ( A ^m C ) <-> ( 1st ` y ) : C --> A )
2826, 27sylib 208 . . . . . 6 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> ( 1st ` y ) : C --> A )
2928ffvelrnda 6359 . . . . 5 |- ( ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) /\ z e. C ) -> ( ( 1st ` y ) ` z ) e. A )
30 xp2nd 7199 . . . . . . 7 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> ( 2nd ` y ) e. ( B ^m C ) )
316, 8elmap 7886 . . . . . . 7 |- ( ( 2nd ` y ) e. ( B ^m C ) <-> ( 2nd ` y ) : C --> B )
3230, 31sylib 208 . . . . . 6 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> ( 2nd ` y ) : C --> B )
3332ffvelrnda 6359 . . . . 5 |- ( ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) /\ z e. C ) -> ( ( 2nd ` y ) ` z ) e. B )
34 opelxpi 5148 . . . . 5 |- ( ( ( ( 1st ` y ) ` z ) e. A /\ ( ( 2nd ` y ) ` z ) e. B ) -> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. e. ( A X. B ) )
3529, 33, 34syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) /\ z e. C ) -> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. e. ( A X. B ) )
36 xpmapenlem.6 . . . 4 |- S = ( z e. C |-> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. )
3735, 36fmptd 6385 . . 3 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> S : C --> ( A X. B ) )
387, 8elmap 7886 . . 3 |- ( S e. ( ( A X. B ) ^m C ) <-> S : C --> ( A X. B ) )
3937, 38sylibr 224 . 2 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> S e. ( ( A X. B ) ^m C ) )
40 1st2nd2 7205 . . . . 5 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> y = <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. )
4140ad2antlr 763 . . . 4 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> y = <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. )
4228feqmptd 6249 . . . . . . 7 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> ( 1st ` y ) = ( z e. C |-> ( ( 1st ` y ) ` z ) ) )
4342ad2antlr 763 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> ( 1st ` y ) = ( z e. C |-> ( ( 1st ` y ) ` z ) ) )
44 simplr 792 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> x = S )
4544fveq1d 6193 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( x ` z ) = ( S ` z ) )
46 opex 4932 . . . . . . . . . . . . 13 |- <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. e. _V
4736fvmpt2 6291 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. C /\ <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. e. _V ) -> ( S ` z ) = <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. )
4846, 47mpan2 707 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. C -> ( S ` z ) = <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. )
4948adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( S ` z ) = <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. )
5045, 49eqtrd 2656 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( x ` z ) = <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. )
5150fveq2d 6195 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( 1st ` ( x ` z ) ) = ( 1st ` <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. ) )
52 fvex 6201 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1st ` y ) ` z ) e. _V
53 fvex 6201 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 2nd ` y ) ` z ) e. _V
5452, 53op1st 7176 . . . . . . . . 9 |- ( 1st ` <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. ) = ( ( 1st ` y ) ` z )
5551, 54syl6eq 2672 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( 1st ` ( x ` z ) ) = ( ( 1st ` y ) ` z ) )
5655mpteq2dva 4744 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> ( z e. C |-> ( 1st ` ( x ` z ) ) ) = ( z e. C |-> ( ( 1st ` y ) ` z ) ) )
5714, 56syl5eq 2668 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> D = ( z e. C |-> ( ( 1st ` y ) ` z ) ) )
5843, 57eqtr4d 2659 . . . . 5 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> ( 1st ` y ) = D )
5932feqmptd 6249 . . . . . . 7 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> ( 2nd ` y ) = ( z e. C |-> ( ( 2nd ` y ) ` z ) ) )
6059ad2antlr 763 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> ( 2nd ` y ) = ( z e. C |-> ( ( 2nd ` y ) ` z ) ) )
6150fveq2d 6195 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( 2nd ` ( x ` z ) ) = ( 2nd ` <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. ) )
6252, 53op2nd 7177 . . . . . . . . 9 |- ( 2nd ` <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. ) = ( ( 2nd ` y ) ` z )
6361, 62syl6eq 2672 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( 2nd ` ( x ` z ) ) = ( ( 2nd ` y ) ` z ) )
6463mpteq2dva 4744 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> ( z e. C |-> ( 2nd ` ( x ` z ) ) ) = ( z e. C |-> ( ( 2nd ` y ) ` z ) ) )
6520, 64syl5eq 2668 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> R = ( z e. C |-> ( ( 2nd ` y ) ` z ) ) )
6660, 65eqtr4d 2659 . . . . 5 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> ( 2nd ` y ) = R )
6758, 66opeq12d 4410 . . . 4 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. = <. D , R >. )
6841, 67eqtrd 2656 . . 3 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> y = <. D , R >. )
69 simpll 790 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> x e. ( ( A X. B ) ^m C ) )
7069, 9sylib 208 . . . . 5 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> x : C --> ( A X. B ) )
7170feqmptd 6249 . . . 4 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> x = ( z e. C |-> ( x ` z ) ) )
72 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> y = <. D , R >. )
7372fveq2d 6195 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( 1st ` y ) = ( 1st ` <. D , R >. ) )
7417ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> D e. ( A ^m C ) )
7523ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> R e. ( B ^m C ) )
76 op1stg 7180 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( A ^m C ) /\ R e. ( B ^m C ) ) -> ( 1st ` <. D , R >. ) = D )
7774, 75, 76syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( 1st ` <. D , R >. ) = D )
7873, 77eqtrd 2656 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( 1st ` y ) = D )
7978fveq1d 6193 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( ( 1st ` y ) ` z ) = ( D ` z ) )
80 fvex 6201 . . . . . . . . . 10 |- ( 1st ` ( x ` z ) ) e. _V
8114fvmpt2 6291 . . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. C /\ ( 1st ` ( x ` z ) ) e. _V ) -> ( D ` z ) = ( 1st ` ( x ` z ) ) )
8280, 81mpan2 707 . . . . . . . . 9 |- ( z e. C -> ( D ` z ) = ( 1st ` ( x ` z ) ) )
8379, 82sylan9eq 2676 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) /\ z e. C ) -> ( ( 1st ` y ) ` z ) = ( 1st ` ( x ` z ) ) )
8472fveq2d 6195 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( 2nd ` y ) = ( 2nd ` <. D , R >. ) )
85 op2ndg 7181 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( A ^m C ) /\ R e. ( B ^m C ) ) -> ( 2nd ` <. D , R >. ) = R )
8674, 75, 85syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( 2nd ` <. D , R >. ) = R )
8784, 86eqtrd 2656 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( 2nd ` y ) = R )
8887fveq1d 6193 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( ( 2nd ` y ) ` z ) = ( R ` z ) )
89 fvex 6201 . . . . . . . . . 10 |- ( 2nd ` ( x ` z ) ) e. _V
9020fvmpt2 6291 . . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. C /\ ( 2nd ` ( x ` z ) ) e. _V ) -> ( R ` z ) = ( 2nd ` ( x ` z ) ) )
9189, 90mpan2 707 . . . . . . . . 9 |- ( z e. C -> ( R ` z ) = ( 2nd ` ( x ` z ) ) )
9288, 91sylan9eq 2676 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) /\ z e. C ) -> ( ( 2nd ` y ) ` z ) = ( 2nd ` ( x ` z ) ) )
9383, 92opeq12d 4410 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) /\ z e. C ) -> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. = <. ( 1st ` ( x ` z ) ) , ( 2nd ` ( x ` z ) ) >. )
9470ffvelrnda 6359 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) /\ z e. C ) -> ( x ` z ) e. ( A X. B ) )
95 1st2nd2 7205 . . . . . . . 8 |- ( ( x ` z ) e. ( A X. B ) -> ( x ` z ) = <. ( 1st ` ( x ` z ) ) , ( 2nd ` ( x ` z ) ) >. )
9694, 95syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) /\ z e. C ) -> ( x ` z ) = <. ( 1st ` ( x ` z ) ) , ( 2nd ` ( x ` z ) ) >. )
9793, 96eqtr4d 2659 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) /\ z e. C ) -> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. = ( x ` z ) )
9897mpteq2dva 4744 . . . . 5 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( z e. C |-> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. ) = ( z e. C |-> ( x ` z ) ) )
9936, 98syl5eq 2668 . . . 4 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> S = ( z e. C |-> ( x ` z ) ) )
10071, 99eqtr4d 2659 . . 3 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> x = S )
10168, 100impbida 877 . 2 |- ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) -> ( x = S <-> y = <. D , R >. ) )
1021, 4, 25, 39, 101en3i 7994 1 |- ( ( A X. B ) ^m C ) ~~ ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ^m cmap 7857   ~~ cen 7952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-en 7956
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