Theorem xpprsng 42110

Description: The Cartesian product of an unordered pair and a singleton. (Contributed by AV, 20-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
xpprsng	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. U ) -> ( { A , B } X. { C } ) = { <. A , C >. , <. B , C >. } )

Proof of Theorem xpprsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4180	. . 3 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
2	1	xpeq1i 5135	. 2 |- ( { A , B } X. { C } ) = ( ( { A } u. { B } ) X. { C } )
3		xpsng 6406	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ C e. U ) -> ( { A } X. { C } ) = { <. A , C >. } )
4	3	3adant2 1080	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. U ) -> ( { A } X. { C } ) = { <. A , C >. } )
5		xpsng 6406	. . . . 5 |- ( ( B e. W /\ C e. U ) -> ( { B } X. { C } ) = { <. B , C >. } )
6	5	3adant1 1079	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. U ) -> ( { B } X. { C } ) = { <. B , C >. } )
7	4, 6	uneq12d 3768	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. U ) -> ( ( { A } X. { C } ) u. ( { B } X. { C } ) ) = ( { <. A , C >. } u. { <. B , C >. } ) )
8		xpundir 5172	. . 3 |- ( ( { A } u. { B } ) X. { C } ) = ( ( { A } X. { C } ) u. ( { B } X. { C } ) )
9		df-pr 4180	. . 3 |- { <. A , C >. , <. B , C >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , C >. } )
10	7, 8, 9	3eqtr4g 2681	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. U ) -> ( ( { A } u. { B } ) X. { C } ) = { <. A , C >. , <. B , C >. } )
11	2, 10	syl5eq 2668	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. U ) -> ( { A , B } X. { C } ) = { <. A , C >. , <. B , C >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   X. cxp 5112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895

This theorem is referenced by:  zlmodzxz0  42134