Theorem zfcndpow 9438

Description: Axiom of Power Sets ax-pow 4843, reproved from conditionless ZFC axioms. The proof uses the "Axiom of Twoness," dtru 4857. (Contributed by NM, 15-Aug-2003.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
zfcndpow	|- E. y A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y )

Distinct variable group:   x, y, z, w

Proof of Theorem zfcndpow

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dtru 4857	. . . . 5 |- -. A. y y = z
2		exnal 1754	. . . . 5 |- ( E. y -. y = z <-> -. A. y y = z )
3	1, 2	mpbir 221	. . . 4 |- E. y -. y = z
4		nfe1 2027	. . . . 5 |- F/ y E. y A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y )
5		axpownd 9423	. . . . 5 |- ( -. y = z -> E. y A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y ) )
6	4, 5	exlimi 2086	. . . 4 |- ( E. y -. y = z -> E. y A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y ) )
7	3, 6	ax-mp 5	. . 3 |- E. y A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y )
8		19.9v 1896	. . . . . . . 8 |- ( E. x y e. z <-> y e. z )
9		19.3v 1897	. . . . . . . 8 |- ( A. z y e. x <-> y e. x )
10	8, 9	imbi12i 340	. . . . . . 7 |- ( ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) <-> ( y e. z -> y e. x ) )
11	10	albii 1747	. . . . . 6 |- ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) <-> A. y ( y e. z -> y e. x ) )
12	11	imbi1i 339	. . . . 5 |- ( ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y ) <-> ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
13	12	albii 1747	. . . 4 |- ( A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y ) <-> A. z ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
14	13	exbii 1774	. . 3 |- ( E. y A. z ( A. y ( E. x y e. z -> A. z y e. x ) -> z e. y ) <-> E. y A. z ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
15	7, 14	mpbi 220	. 2 |- E. y A. z ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y )
16		elequ1 1997	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( w e. z <-> y e. z ) )
17		elequ1 1997	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( w e. x <-> y e. x ) )
18	16, 17	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( w e. z -> w e. x ) <-> ( y e. z -> y e. x ) ) )
19	18	cbvalv 2273	. . . . 5 |- ( A. w ( w e. z -> w e. x ) <-> A. y ( y e. z -> y e. x ) )
20	19	imbi1i 339	. . . 4 |- ( ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y ) <-> ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
21	20	albii 1747	. . 3 |- ( A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y ) <-> A. z ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
22	21	exbii 1774	. 2 |- ( E. y A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y ) <-> E. y A. z ( A. y ( y e. z -> y e. x ) -> z e. y ) )
23	15, 22	mpbir 221	1 |- E. y A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-reg 8497

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180

This theorem is referenced by: (None)