Theorem zfcndun 9437

Description: Axiom of Union ax-un 6949, reproved from conditionless ZFC axioms. (Contributed by NM, 15-Aug-2003.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
zfcndun	|- E. y A. z ( E. w ( z e. w /\ w e. x ) -> z e. y )

Distinct variable group:   x, y, z, w

Proof of Theorem zfcndun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axunnd 9418	. 2 |- E. y A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y )
2		elequ2 2004	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( z e. w <-> z e. y ) )
3		elequ1 1997	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( w e. x <-> y e. x ) )
4	2, 3	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( z e. w /\ w e. x ) <-> ( z e. y /\ y e. x ) ) )
5	4	cbvexv 2275	. . . . 5 |- ( E. w ( z e. w /\ w e. x ) <-> E. y ( z e. y /\ y e. x ) )
6	5	imbi1i 339	. . . 4 |- ( ( E. w ( z e. w /\ w e. x ) -> z e. y ) <-> ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
7	6	albii 1747	. . 3 |- ( A. z ( E. w ( z e. w /\ w e. x ) -> z e. y ) <-> A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
8	7	exbii 1774	. 2 |- ( E. y A. z ( E. w ( z e. w /\ w e. x ) -> z e. y ) <-> E. y A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
9	1, 8	mpbir 221	1 |- E. y A. z ( E. w ( z e. w /\ w e. x ) -> z e. y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-eprel 5029  df-fr 5073

This theorem is referenced by: (None)