Theorem 0cld 20842

Description: The empty set is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0cld	⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem 0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dif0 3950	. . 3 ⊢ (∪ 𝐽 ∖ ∅) = ∪ 𝐽
2	1	topopn 20711	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∪ 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽)
3		0ss 3972	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ∪ 𝐽
4		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
5	4	iscld2 20832	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ ∪ 𝐽) → (∅ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (∪ 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽))
6	3, 5	mpan2 707	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∅ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (∪ 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽))
7	2, 6	mpbird 247	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∈ wcel 1990   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ∪ cuni 4436  ‘cfv 5888  Topctop 20698  Clsdccld 20820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-top 20699  df-cld 20823

This theorem is referenced by:  cls0  20884  indiscld  20895  iscldtop  20899  iccordt  21018  isconn2  21217  tgptsmscld  21954  mblfinlem2  33447  mblfinlem3  33448  ismblfin  33450