Theorem mblfinlem3 33448

Description: The difference between two sets measurable by the criterion in ismblfin 33450 is itself measurable by the same. Corollary 0.3 of [Viaclovsky7] p. 3. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Mar-2018.) (Revised by Brendan Leahy, 13-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
mblfinlem3	⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ ((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))) → sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑏,𝐴   𝐵,𝑏,𝑦

Proof of Theorem mblfinlem3

Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 10118	. . 3 ⊢ < Or ℝ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ ((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))) → < Or ℝ)
3		difss 3737	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
4		ovolsscl 23254	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
5	3, 4	mp3an1 1411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
6	5	3ad2ant1 1082	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ ((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
7		vex 3203	. . . . . 6 ⊢ 𝑢 ∈ V
8		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (𝑦 = (vol‘𝑏) ↔ 𝑢 = (vol‘𝑏)))
9	8	anbi2d 740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → ((𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏))))
10	9	rexbidv 3052	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏))))
11	7, 10	elab 3350	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)))
12		simprl 794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏))) → 𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵))
13		ssdifss 3741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ)
14		ovolss 23253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ) → (vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
15	12, 13, 14	syl2anr 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)))) → (vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
16		uniretop 22566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
17	16	cldss 20833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → 𝑏 ⊆ ℝ)
18		ovolcl 23246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ⊆ ℝ → (vol*‘𝑏) ∈ ℝ*)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (vol*‘𝑏) ∈ ℝ*)
20		ovolcl 23246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
21	13, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
22		xrlenlt 10103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((vol*‘𝑏) ∈ ℝ* ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*) → ((vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < (vol*‘𝑏)))
23	19, 21, 22	syl2anr 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → ((vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < (vol*‘𝑏)))
24	23	adantrr 753	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)))) → ((vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < (vol*‘𝑏)))
25		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = (vol‘𝑏) → 𝑢 = (vol‘𝑏))
26		dfss4 3858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝑏)) = 𝑏)
27	17, 26	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝑏)) = 𝑏)
28		rembl 23308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℝ ∈ dom vol
29	16	cldopn 20835	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ 𝑏) ∈ (topGen‘ran (,)))
30		opnmbl 23370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ℝ ∖ 𝑏) ∈ (topGen‘ran (,)) → (ℝ ∖ 𝑏) ∈ dom vol)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ 𝑏) ∈ dom vol)
32		difmbl 23311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℝ ∈ dom vol ∧ (ℝ ∖ 𝑏) ∈ dom vol) → (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝑏)) ∈ dom vol)
33	28, 31, 32	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝑏)) ∈ dom vol)
34	27, 33	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → 𝑏 ∈ dom vol)
35		mblvol 23298	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ dom vol → (vol‘𝑏) = (vol*‘𝑏))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (vol‘𝑏) = (vol*‘𝑏))
37	25, 36	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)) → 𝑢 = (vol*‘𝑏))
38	37	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢 ↔ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < (vol*‘𝑏)))
39	38	notbid 308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)) → (¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢 ↔ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < (vol*‘𝑏)))
40	39	adantrl 752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏))) → (¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢 ↔ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < (vol*‘𝑏)))
41	40	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)))) → (¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢 ↔ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < (vol*‘𝑏)))
42	24, 41	bitr4d 271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)))) → ((vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢))
43	15, 42	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)))) → ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢)
44	43	rexlimdvaa 3032	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)) → ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢))
45	44	imp 445	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏))) → ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢)
46	11, 45	sylan2b 492	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑢 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}) → ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢)
47	46	adantlr 751	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}) → ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢)
48	47	3ad2antl1 1223	. 2 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ ((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))) ∧ 𝑢 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}) → ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢)
49		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
50		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℝ)
51	50	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℝ)
52		posdif 10521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ 0 < ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢)))
53	52	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ 0 < ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢)))
54	53	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) → 0 < ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢)))
55	54	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → 0 < ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
56	51, 55	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℝ+)
57		3nn 11186	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℕ
58		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℝ+
60		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ+)
61	56, 59, 60	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ+)
62	5, 61	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ+)
63	49, 62	ltsubrpd 11904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol*‘𝐴))
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol*‘𝐴))
65		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → (vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))
66	64, 65	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))
67		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℝ ∈ V
68	67	ssex 4802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ V)
70		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (𝑣 ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
71		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (vol*‘𝑣) = (vol*‘𝐴))
72	71	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((vol*‘𝑣) ∈ ℝ ↔ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
73	70, 72	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)))
74		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (𝑏 ⊆ 𝑣 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐴))
75	74	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))))
76	75	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))))
77	76	abbidv 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} = {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))})
78	77	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ))
79	77	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅))
80	77	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
81	80	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
82	78, 79, 81	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥) ↔ ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)))
83	73, 82	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))))
84		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) → 𝑦 = (vol‘𝑏))
85	84, 36	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))) → 𝑦 = (vol*‘𝑏))
86	85	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)))) → 𝑦 = (vol*‘𝑏))
87		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))) → 𝑏 ⊆ 𝑣)
88		ovolsscl 23254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) → (vol*‘𝑏) ∈ ℝ)
89	88	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ (𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑏) ∈ ℝ)
90	89	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ⊆ 𝑣) → (vol*‘𝑏) ∈ ℝ)
91	87, 90	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)))) → (vol*‘𝑏) ∈ ℝ)
92	86, 91	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
93	92	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) → 𝑦 ∈ ℝ))
94	93	abssdv 3676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) → {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ)
95		retop 22565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
96		0cld 20842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
97	95, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ∅ ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
98		0ss 3972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ∅ ⊆ 𝑣
99		0mbl 23307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ∅ ∈ dom vol
100		mblvol 23298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
101	99, 100	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (vol‘∅) = (vol*‘∅)
102		ovol0 23261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (vol*‘∅) = 0
103	101, 102	eqtr2i 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 = (vol‘∅)
104	98, 103	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∅ ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘∅))
105		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝑏 ⊆ 𝑣 ↔ ∅ ⊆ 𝑣))
106		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑏 = ∅ → (vol‘𝑏) = (vol‘∅))
107	106	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑏 = ∅ → (0 = (vol‘𝑏) ↔ 0 = (vol‘∅)))
108	105, 107	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 = ∅ → ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘𝑏)) ↔ (∅ ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘∅))))
109	108	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((∅ ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (∅ ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘∅))) → ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘𝑏)))
110	97, 104, 109	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘𝑏))
111		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ∈ V
112		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 = (vol‘𝑏) ↔ 0 = (vol‘𝑏)))
113	112	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘𝑏))))
114	113	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 0 → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘𝑏))))
115	111, 114	spcev 3300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘𝑏)) → ∃𝑦∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)))
116	110, 115	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ∃𝑦∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))
117		abn0 3954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)))
118	117	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑦∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) → {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅)
119	116, 118	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) → {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅)
120		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏)) → 𝑧 = (vol‘𝑏))
121	120, 36	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏))) → 𝑧 = (vol*‘𝑏))
122	121	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏)))) → 𝑧 = (vol*‘𝑏))
123		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏))) → 𝑏 ⊆ 𝑣)
124		ovolss 23253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ ℝ) → (vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘𝑣))
125	124	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ 𝑏 ⊆ 𝑣) → (vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘𝑣))
126	123, 125	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏)))) → (vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘𝑣))
127	122, 126	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏)))) → 𝑧 ≤ (vol*‘𝑣))
128	127	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 ⊆ ℝ → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏)) → 𝑧 ≤ (vol*‘𝑣)))
129	128	alrimiv 1855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 ⊆ ℝ → ∀𝑧(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏)) → 𝑧 ≤ (vol*‘𝑣)))
130		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 = (vol‘𝑏) ↔ 𝑧 = (vol‘𝑏)))
131	130	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏))))
132	131	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏))))
133	132	ralab 3367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ (vol*‘𝑣) ↔ ∀𝑧(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏)) → 𝑧 ≤ (vol*‘𝑣)))
134	129, 133	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 ⊆ ℝ → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ (vol*‘𝑣))
135		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = (vol*‘𝑣) → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ 𝑧 ≤ (vol*‘𝑣)))
136	135	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = (vol*‘𝑣) → (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ (vol*‘𝑣)))
137	136	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((vol*‘𝑣) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ (vol*‘𝑣)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)
138	134, 137	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((vol*‘𝑣) ∈ ℝ ∧ 𝑣 ⊆ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)
139	138	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)
140	94, 119, 139	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
141	83, 140	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)))
142	69, 141	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
143	142	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
144	62	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ)
145	49, 144	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ)
146		suprlub 10987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥) ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣))
147	143, 145, 146	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣))
148	147	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣))
149	66, 148	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣)
150		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 = (vol‘𝑏) ↔ 𝑣 = (vol‘𝑏)))
151	150	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))))
152	151	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))))
153	152	rexab 3369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 ↔ ∃𝑣(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣))
154		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = (vol‘𝑏) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 ↔ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏)))
155	154	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 ↔ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏)))
156		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = 𝑏 → (𝑠 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐴))
157		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 = 𝑏 → (vol‘𝑠) = (vol‘𝑏))
158	157	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = 𝑏 → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠) ↔ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏)))
159	156, 158	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 = 𝑏 → ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ↔ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏))))
160	159	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏))) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)))
161	160	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠))))
162	161	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠))))
163	155, 162	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠))))
164	163	rexlimiva 3028	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠))))
165	164	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)))
166	165	exlimiv 1858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑣(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)))
167	153, 166	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)))
168	149, 167	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)))
169	168	ex 450	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠))))
170	169	adantlr 751	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠))))
171		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
172	62	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ+)
173	171, 172	ltsubrpd 11904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol*‘𝐵))
174	173	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol*‘𝐵))
175		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))
176	174, 175	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))
177	67	ssex 4802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ → 𝐵 ∈ V)
178	177	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ V)
179		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (𝑣 ⊆ ℝ ↔ 𝐵 ⊆ ℝ))
180		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (vol*‘𝑣) = (vol*‘𝐵))
181	180	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → ((vol*‘𝑣) ∈ ℝ ↔ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ))
182	179, 181	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) ↔ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)))
183		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (𝑏 ⊆ 𝑣 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐵))
184	183	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))))
185	184	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))))
186	185	abbidv 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} = {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))})
187	186	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ))
188	186	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅))
189	186	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
190	189	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
191	187, 188, 190	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥) ↔ ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)))
192	182, 191	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)) ↔ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))))
193	192, 140	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)))
194	178, 193	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
195	194	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
196	144	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ)
197	171, 196	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ)
198		suprlub 10987	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥) ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣))
199	195, 197, 198	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣))
200	199	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣))
201	176, 200	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣)
202	150	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))))
203	202	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))))
204	203	rexab 3369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 ↔ ∃𝑣(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣))
205		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 = (vol‘𝑏) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 ↔ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏)))
206	205	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 ↔ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏)))
207		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑤 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐵))
208		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (vol‘𝑤) = (vol‘𝑏))
209	208	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤) ↔ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏)))
210	207, 209	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)) ↔ (𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏))))
211	210	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏))) → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))
212	211	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏) → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))))
213	212	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏) → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))))
214	206, 213	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))))
215	214	rexlimiva 3028	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))))
216	215	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣) → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))
217	216	exlimiv 1858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑣(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣) → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))
218	204, 217	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))
219	201, 218	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))
220	219	ex 450	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))))
221	170, 220	anim12d 586	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → (∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))))
222		reeanv 3107	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))) ↔ (∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))))
223	221, 222	syl6ibr 242	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))))
224		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
225	224	ovolgelb 23248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
226	225	3expa 1265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
227	62, 226	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
228	227	ancoms 469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
229	228	an32s 846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
230		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
231		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)
232	224	ovollb 23247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
233	231, 232	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
234	233	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
235		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)
236	235, 224	ovolsf 23241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶(0[,)+∞))
237		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶(0[,)+∞) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) ⊆ (0[,)+∞))
238		icossxr 12258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
239	237, 238	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶(0[,)+∞) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) ⊆ ℝ*)
240		supxrcl 12145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) ⊆ ℝ* → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
241	236, 239, 240	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
242		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
243		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((vol*‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ) → ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ)
244	242, 144, 243	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ)
245	244	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ*)
246	245	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ*)
247		rncoss 5386	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ran (,)
248	247	unissi 4461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ∪ ran (,)
249		unirnioo 12273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
250	248, 249	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ
251		ovolcl 23246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ*)
252	250, 251	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ*
253		xrletr 11989	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ* ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ*) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
254	252, 253	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ*) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
255	241, 246, 254	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
256	234, 255	mpand 711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))) → (sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
257	230, 256	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)) → (sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
258	257	anim2d 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)) → ((𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) → (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))))
259	258	reximdva 3017	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))))
260	229, 259	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
261		rexex 3002	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) → ∃𝑓(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
262	260, 261	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ∃𝑓(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
263	16	cldss 20833	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → 𝑠 ⊆ ℝ)
264		indif2 3870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∩ (ℝ ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = ((𝑠 ∩ ℝ) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))
265		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ⊆ ℝ ↔ (𝑠 ∩ ℝ) = 𝑠)
266	265	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ⊆ ℝ → (𝑠 ∩ ℝ) = 𝑠)
267	266	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ⊆ ℝ → ((𝑠 ∩ ℝ) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
268	264, 267	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ⊆ ℝ → (𝑠 ∩ (ℝ ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
269	263, 268	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (𝑠 ∩ (ℝ ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
270		retopbas 22564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
271		bastg 20770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
272	270, 271	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
273	247, 272	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ (topGen‘ran (,))
274		uniopn 20702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ (topGen‘ran (,))) → ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ (topGen‘ran (,)))
275	95, 273, 274	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ (topGen‘ran (,))
276	16	opncld 20837	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ (topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
277	95, 275, 276	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℝ ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
278		incld 20847	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (ℝ ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → (𝑠 ∩ (ℝ ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
279	277, 278	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (𝑠 ∩ (ℝ ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
280	269, 279	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
281	280	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
282	281	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
283		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → 𝑠 ⊆ 𝐴)
284		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → 𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))
285	283, 284	ssdif2d 3749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵))
286		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) = 𝑏 → (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏))
287	286	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) → (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏))
288	287	biantrud 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) → (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏))))
289		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) → (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵)))
290	288, 289	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) → ((𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵)))
291	290	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵)) → ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏)))
292	282, 285, 291	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏)))
293	292	adantlll 754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏)))
294		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵)
295	294, 3	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ 𝐴
296		ovolsscl 23254	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
297	295, 296	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
298	297	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
299	5	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
300		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) → 𝑢 ∈ ℝ)
301	300	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → 𝑢 ∈ ℝ)
302		difdif2 3884	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
303	302	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) = (vol*‘(((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
304		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵)
305	304, 3	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ⊆ 𝐴
306		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵)
307	306, 3	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ 𝐴
308	305, 307	unssi 3788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ 𝐴
309		ovolsscl 23254	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
310	308, 309	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
311	310	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
312		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ 𝐴
313		ovolsscl 23254	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℝ)
314	312, 313	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℝ)
315	314	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℝ)
316	171, 196	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ)
317	316, 252	jctil 560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ))
318		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))
319		ovolge0 23249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
320	250, 319	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 ≤ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓))
321	318, 320	jctil 560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) → (0 ≤ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
322		xrrege0 12005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ)
323	317, 321, 322	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ)
324		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤) ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)
325		ovolsscl 23254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤) ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∈ ℝ)
326	324, 250, 325	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∈ ℝ)
327	323, 326	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∈ ℝ)
328	327	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∈ ℝ)
329	315, 328	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ)
330	5, 50	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℝ)
331	330	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℝ)
332	331	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℝ)
333	332	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℝ)
334		ssdifss 3741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ ℝ)
335	324, 250	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤) ⊆ ℝ
336		unss 3787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ ℝ ∧ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤) ⊆ ℝ) ↔ ((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ⊆ ℝ)
337	334, 335, 336	sylanblc 696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ⊆ ℝ)
338		ovolcl 23246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ⊆ ℝ → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ*)
339	337, 338	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ*)
340	339	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ*)
341	314	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℝ)
342	341, 327	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ)
343		ovolge0 23249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
344	337, 343	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
345	344	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → 0 ≤ (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
346	334	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ ℝ)
347	346, 314	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℝ))
348	347	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → ((𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℝ))
349	327, 335	jctil 560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → ((∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∈ ℝ))
350		ovolun 23267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℝ) ∧ ((∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∈ ℝ)) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
351	348, 349, 350	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
352		xrrege0 12005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∧ (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ)
353	340, 342, 345, 351, 352	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ)
354	353	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ)
355		ssdif 3745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑠))
356	3, 355	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑠)
357		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) = (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵))
358		indif2 3870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)
359	357, 358	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) = ((∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)
360		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝐴) ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)
361	360	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝐴) ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))
362		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → 𝑤 ⊆ 𝐵)
363	361, 362	ssdif2d 3749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ⊆ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))
364	359, 363	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))
365		unss12 3785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑠) ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) → (((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ ((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)))
366	356, 364, 365	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ ((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)))
367	337	ad6antr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ⊆ ℝ)
368		ovolss 23253	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ ((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∧ ((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ⊆ ℝ) → (vol*‘(((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ≤ (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
369	366, 367, 368	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ≤ (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
370	334	ad6antr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ ℝ)
371	328, 335	jctil 560	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∈ ℝ))
372	370, 315, 371, 350	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
373	311, 354, 329, 369, 372	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
374	196	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ)
375	196, 196	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ)
376	375	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ)
377		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑏 = 𝑠 → (𝑏 ∈ dom vol ↔ 𝑠 ∈ dom vol))
378	377, 34	vtoclga 3272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → 𝑠 ∈ dom vol)
379		mblvol 23298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ dom vol → (vol‘𝑠) = (vol*‘𝑠))
380	378, 379	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (vol‘𝑠) = (vol*‘𝑠))
381	380	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → (vol‘𝑠) = (vol*‘𝑠))
382		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑠 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝑠) = 𝑠)
383	382	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑠 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∩ 𝑠) = 𝑠)
384	383	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ⊆ 𝐴 → 𝑠 = (𝐴 ∩ 𝑠))
385	384	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ⊆ 𝐴 → (vol*‘𝑠) = (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)))
386	385	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))) → (vol*‘𝑠) = (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)))
387	381, 386	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘𝑠) = (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)))
388	387	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐴) − (vol‘𝑠)) = ((vol*‘𝐴) − (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠))))
389	388	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐴) − (vol‘𝑠)) = ((vol*‘𝐴) − (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠))))
390	378	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → 𝑠 ∈ dom vol)
391		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
392		mblsplit 23300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑠 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐴) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠))))
393	392	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑠 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠))) = (vol*‘𝐴))
394	393	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑠 ∈ dom vol ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠))) = (vol*‘𝐴))
395	390, 391, 394	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠))) = (vol*‘𝐴))
396	395	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠))) = (vol*‘𝐴))
397		simp-6r 811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
398	397	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘𝐴) ∈ ℂ)
399		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑠) ⊆ 𝐴
400		ovolsscl 23254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝑠) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) ∈ ℝ)
401	399, 400	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) ∈ ℝ)
402	401	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) ∈ ℂ)
403	402	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) ∈ ℂ)
404	314	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℂ)
405	404	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℂ)
406	398, 403, 405	subaddd 10410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (((vol*‘𝐴) − (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠))) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ↔ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠))) = (vol*‘𝐴)))
407	396, 406	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐴) − (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠))) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)))
408	389, 407	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐴) − (vol‘𝑠)) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)))
409	381	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘𝑠) = (vol*‘𝑠))
410		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))) → 𝑠 ⊆ 𝐴)
411		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
412		ovolsscl 23254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘𝑠) ∈ ℝ)
413	412	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑠) ∈ ℝ)
414	410, 411, 413	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘𝑠) ∈ ℝ)
415	409, 414	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘𝑠) ∈ ℝ)
416		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠))
417	397, 374, 415, 416	ltsub23d 10632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐴) − (vol‘𝑠)) < (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))
418	408, 417	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) < (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))
419	323	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℂ)
420	419	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℂ)
421	242	ad5antlr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
422	421	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘𝐵) ∈ ℂ)
423		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑏 = 𝑤 → (𝑏 ∈ dom vol ↔ 𝑤 ∈ dom vol))
424	423, 34	vtoclga 3272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → 𝑤 ∈ dom vol)
425		mblvol 23298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 ∈ dom vol → (vol‘𝑤) = (vol*‘𝑤))
426	424, 425	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (vol‘𝑤) = (vol*‘𝑤))
427	426	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → (vol‘𝑤) = (vol*‘𝑤))
428	427	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘𝑤) = (vol*‘𝑤))
429		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))) → 𝑤 ⊆ 𝐵)
430		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ))
431		ovolsscl 23254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝑤) ∈ ℝ)
432	431	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑤) ∈ ℝ)
433	429, 430, 432	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘𝑤) ∈ ℝ)
434	428, 433	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘𝑤) ∈ ℝ)
435	434	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘𝑤) ∈ ℂ)
436	420, 422, 435	npncand 10416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘𝐵)) + ((vol*‘𝐵) − (vol‘𝑤))) = ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol‘𝑤)))
437		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) → 𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))
438	429, 437	sylan9ssr 3617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → 𝑤 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))
439		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ↔ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤) = 𝑤)
440	438, 439	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤) = 𝑤)
441	440	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) = (vol*‘𝑤))
442	428, 441	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘𝑤) = (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)))
443	442	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol‘𝑤)) = ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤))))
444	424	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → 𝑤 ∈ dom vol)
445	323, 250	jctil 560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ))
446		mblsplit 23300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑤 ∈ dom vol ∧ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) = ((vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
447	446	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑤 ∈ dom vol ∧ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ) → ((vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) = (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
448	447	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑤 ∈ dom vol ∧ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) = (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
449	444, 445, 448	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) → ((vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) = (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
450	449	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) = (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
451		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤) ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)
452		ovolsscl 23254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤) ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) ∈ ℝ)
453	451, 250, 452	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) ∈ ℝ)
454	323, 453	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) ∈ ℝ)
455	454	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) ∈ ℂ)
456	327	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∈ ℂ)
457	419, 455, 456	subaddd 10410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤))) = (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ↔ ((vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) = (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
458	457	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤))) = (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ↔ ((vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) = (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
459	450, 458	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤))) = (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)))
460	436, 443, 459	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘𝐵)) + ((vol*‘𝐵) − (vol‘𝑤))) = (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)))
461	242	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
462	323, 461	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘𝐵)) ∈ ℝ)
463	462	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘𝐵)) ∈ ℝ)
464	421, 434	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐵) − (vol‘𝑤)) ∈ ℝ)
465		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))
466	196	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ)
467	323, 461, 466	lesubadd2d 10626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘𝐵)) ≤ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ↔ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
468	465, 467	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘𝐵)) ≤ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))
469	468	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘𝐵)) ≤ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))
470		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))
471	421, 374, 434, 470	ltsub23d 10632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐵) − (vol‘𝑤)) < (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))
472	463, 464, 374, 374, 469, 471	leltaddd 10649	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘𝐵)) + ((vol*‘𝐵) − (vol‘𝑤))) < ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))
473	460, 472	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) < ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))
474	315, 328, 374, 376, 418, 473	lt2addd 10650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) < ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
475		df-3 11080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 3 = (2 + 1)
476		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℂ
477		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℂ
478	476, 477	addcomi 10227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 + 1) = (1 + 2)
479	475, 478	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 3 = (1 + 2)
480	479	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (3 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((1 + 2) · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))
481	62	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℂ)
482		adddir 10031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℂ) → ((1 + 2) · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((1 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) + (2 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
483	477, 476, 482	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℂ → ((1 + 2) · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((1 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) + (2 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
484	481, 483	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((1 + 2) · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((1 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) + (2 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
485	481	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (1 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))
486	481	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (2 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))
487	485, 486	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((1 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) + (2 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) = ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
488	484, 487	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((1 + 2) · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
489	480, 488	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (3 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
490	331	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℂ)
491		3cn 11095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 3 ∈ ℂ
492		3ne0 11115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 3 ≠ 0
493		divcan2 10693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (3 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
494	491, 492, 493	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℂ → (3 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
495	490, 494	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (3 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
496	489, 495	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) = ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
497	496	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) = ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
498	497	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) = ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
499	474, 498	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) < ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
500	311, 329, 333, 373, 499	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) < ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
501	303, 500	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) < ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
502	298, 299, 301, 501	ltsub13d 10633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → 𝑢 < ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))))
503	285	adantlll 754	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵))
504		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
505	503, 504	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
506	505	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) = (vol*‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
507		opnmbl 23370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ (topGen‘ran (,)) → ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ dom vol)
508	275, 507	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ dom vol
509		difmbl 23311	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ dom vol ∧ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ dom vol) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ dom vol)
510	378, 508, 509	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ dom vol)
511	510	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ dom vol)
512	511	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ dom vol)
513	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ)
514	513, 5	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ))
515	514	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ))
516		mblsplit 23300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ dom vol ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) + (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))))
517	516	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ dom vol ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) + (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))))
518	517	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ dom vol ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)) → ((vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) + (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
519	512, 515, 518	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) + (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
520	299	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℂ)
521	298	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℂ)
522		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵)
523	522, 3	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ 𝐴
524		ovolsscl 23254	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
525	523, 524	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
526	525	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
527	526	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℂ)
528	520, 521, 527	subadd2d 10411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))) = (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ↔ ((vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) + (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
529	519, 528	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))) = (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))))
530		mblvol 23298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ dom vol → (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol*‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
531	509, 530	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑠 ∈ dom vol ∧ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ dom vol) → (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol*‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
532	378, 508, 531	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol*‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
533	532	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol*‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
534	533	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol*‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
535	506, 529, 534	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))))
536	502, 535	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → 𝑢 < (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
537		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ∈ V
538		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) → (𝑣 = (vol‘𝑏) ↔ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏)))
539	538	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ((𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏))))
540	539	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏))))
541		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) → (𝑢 < 𝑣 ↔ 𝑢 < (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))))
542	540, 541	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ((∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ 𝑢 < 𝑣) ↔ (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏)) ∧ 𝑢 < (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))))
543	537, 542	spcev 3300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏)) ∧ 𝑢 < (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) → ∃𝑣(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ 𝑢 < 𝑣))
544	293, 536, 543	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ∃𝑣(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ 𝑢 < 𝑣))
545	150	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))))
546	545	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))))
547	546	rexab 3369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣 ↔ ∃𝑣(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ 𝑢 < 𝑣))
548	544, 547	sylibr 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣)
549	548	ex 450	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) → (((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣))
550	549	rexlimdvva 3038	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣))
551	262, 550	exlimddv 1863	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣))
552	223, 551	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣))
553	552	exp31 630	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) → (((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣))))
554	553	com34 91	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣))))
555	554	3imp1 1280	. 2 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ ((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣)
556	2, 6, 48, 555	eqsupd 8363	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ ((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))) → sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037  ∀wal 1481   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990  {cab 2608   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ∪ cuni 4436   class class class wbr 4653   Or wor 5034   × cxp 5112  dom cdm 5114  ran crn 5115   ∘ ccom 5118  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857  supcsup 8346  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  +∞cpnf 10071  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℕcn 11020  2c2 11070  3c3 11071  ℝ⁺crp 11832  (,)cioo 12175  [,)cico 12177  seqcseq 12801  abscabs 13974  topGenctg 16098  Topctop 20698  TopBasesctb 20749  Clsdccld 20820  vol*covol 23231  volcvol 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234

This theorem is referenced by:  ismblfin  33450