Theorem 1nqenq 9784

Description: The equivalence class of ratio 1. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1nqenq	⊢ (𝐴 ∈ N → 1Q ~Q ⟨𝐴, 𝐴⟩)

Proof of Theorem 1nqenq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enqer 9743	. . 3 ⊢ ~Q Er (N × N)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → ~Q Er (N × N))
3		mulidpi 9708	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1𝑜) = 𝐴)
4	3, 3	opeq12d 4410	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨(𝐴 ·N 1𝑜), (𝐴 ·N 1𝑜)⟩ = ⟨𝐴, 𝐴⟩)
5		1pi 9705	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 ∈ N
6		mulcanenq 9782	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → ⟨(𝐴 ·N 1𝑜), (𝐴 ·N 1𝑜)⟩ ~Q ⟨1𝑜, 1𝑜⟩)
7	5, 5, 6	mp3an23 1416	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨(𝐴 ·N 1𝑜), (𝐴 ·N 1𝑜)⟩ ~Q ⟨1𝑜, 1𝑜⟩)
8		df-1nq 9738	. . . 4 ⊢ 1Q = ⟨1𝑜, 1𝑜⟩
9	7, 8	syl6breqr 4695	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨(𝐴 ·N 1𝑜), (𝐴 ·N 1𝑜)⟩ ~Q 1Q)
10	4, 9	eqbrtrrd 4677	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨𝐴, 𝐴⟩ ~Q 1Q)
11	2, 10	ersym 7754	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → 1Q ~Q ⟨𝐴, 𝐴⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653   × cxp 5112  (class class class)co 6650  1_𝑜c1o 7553   Er wer 7739  Ncnpi 9666   ·_N cmi 9668   ~_Q ceq 9673  1_Qc1q 9675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ni 9694  df-mi 9696  df-enq 9733  df-1nq 9738

This theorem is referenced by:  recmulnq  9786