Theorem cdleml3N 36266

Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleml1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleml1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleml1.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdleml3.o	⊢ 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cdleml3N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)

Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝐾,𝑠   𝑅,𝑠   𝑇,𝑠   𝑈,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠,𝑓,𝑔   𝐵,𝑔,𝑠   𝑓,𝐸   𝑓,𝑔,𝐻,𝑠   𝑓,𝐾,𝑔   0 ,𝑓,𝑠   𝑇,𝑓,𝑔   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝑅(𝑓,𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝑉(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem cdleml3N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp2 1062	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇))
3		simp31 1097	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
4		simp32 1098	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → 𝑈 ≠ 0 )
5		simp21 1094	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → 𝑈 ∈ 𝐸)
6		simp23 1096	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → 𝑓 ∈ 𝑇)
7		cdleml1.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		cdleml1.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		cdleml1.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		cdleml1.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
11		cdleml3.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
12	7, 8, 9, 10, 11	tendoid0 36113	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘𝑓) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 0 ))
13	1, 5, 6, 3, 12	syl112anc 1330	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → ((𝑈‘𝑓) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 0 ))
14	13	necon3bid 2838	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → ((𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 ≠ 0 ))
15	4, 14	mpbird 247	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))
16		simp33 1099	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → 𝑉 ≠ 0 )
17		simp22 1095	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → 𝑉 ∈ 𝐸)
18	7, 8, 9, 10, 11	tendoid0 36113	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑉‘𝑓) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉 = 0 ))
19	1, 17, 6, 3, 18	syl112anc 1330	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → ((𝑉‘𝑓) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉 = 0 ))
20	19	necon3bid 2838	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → ((𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉 ≠ 0 ))
21	16, 20	mpbird 247	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))
22		cdleml1.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
23	7, 8, 9, 22, 10	cdleml2N 36265	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠‘(𝑈‘𝑓)) = (𝑉‘𝑓))
24	1, 2, 3, 15, 21, 23	syl113anc 1338	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠‘(𝑈‘𝑓)) = (𝑉‘𝑓))
25		simpl1 1064	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
26		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → 𝑠 ∈ 𝐸)
27		simpl21 1139	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → 𝑈 ∈ 𝐸)
28		simpl23 1141	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → 𝑓 ∈ 𝑇)
29	8, 9, 10	tendocoval 36054	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝑠 ∘ 𝑈)‘𝑓) = (𝑠‘(𝑈‘𝑓)))
30	25, 26, 27, 28, 29	syl121anc 1331	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → ((𝑠 ∘ 𝑈)‘𝑓) = (𝑠‘(𝑈‘𝑓)))
31	30	eqeq1d 2624	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (((𝑠 ∘ 𝑈)‘𝑓) = (𝑉‘𝑓) ↔ (𝑠‘(𝑈‘𝑓)) = (𝑉‘𝑓)))
32		simp11 1091	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ 𝑈)‘𝑓) = (𝑉‘𝑓)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
33		simp2 1062	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ 𝑈)‘𝑓) = (𝑉‘𝑓)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
34		simp121 1193	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ 𝑈)‘𝑓) = (𝑉‘𝑓)) → 𝑈 ∈ 𝐸)
35	8, 10	tendococl 36060	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → (𝑠 ∘ 𝑈) ∈ 𝐸)
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ 𝑈)‘𝑓) = (𝑉‘𝑓)) → (𝑠 ∘ 𝑈) ∈ 𝐸)
37		simp122 1194	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ 𝑈)‘𝑓) = (𝑉‘𝑓)) → 𝑉 ∈ 𝐸)
38		simp3 1063	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ 𝑈)‘𝑓) = (𝑉‘𝑓)) → ((𝑠 ∘ 𝑈)‘𝑓) = (𝑉‘𝑓))
39		simp123 1195	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ 𝑈)‘𝑓) = (𝑉‘𝑓)) → 𝑓 ∈ 𝑇)
40		simp131 1196	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ 𝑈)‘𝑓) = (𝑉‘𝑓)) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
41	7, 8, 9, 10	tendocan 36112	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑈) ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ 𝑈)‘𝑓) = (𝑉‘𝑓)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)
42	32, 36, 37, 38, 39, 40, 41	syl132anc 1344	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ 𝑈)‘𝑓) = (𝑉‘𝑓)) → (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)
43	42	3expia 1267	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (((𝑠 ∘ 𝑈)‘𝑓) = (𝑉‘𝑓) → (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉))
44	31, 43	sylbird 250	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → ((𝑠‘(𝑈‘𝑓)) = (𝑉‘𝑓) → (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉))
45	44	reximdva 3017	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → (∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠‘(𝑈‘𝑓)) = (𝑉‘𝑓) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉))
46	24, 45	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∃wrex 2913   ↦ cmpt 4729   I cid 5023   ↾ cres 5116   ∘ ccom 5118  ‘cfv 5888  Basecbs 15857  HLchlt 34637  LHypclh 35270  LTrncltrn 35387  trLctrl 35445  TEndoctendo 36040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-undef 7399  df-map 7859  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tendo 36043

This theorem is referenced by:  cdleml4N  36267