Theorem dfle2 11980

Description: Alternative definition of 'less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfle2	⊢ ≤ = ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))

Proof of Theorem dfle2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lerel 10102	. 2 ⊢ Rel ≤
2		ltrelxr 10099	. . . 4 ⊢ < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
3		f1oi 6174	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ ℝ*):ℝ*–1-1-onto→ℝ*
4		f1of 6137	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ ℝ*):ℝ*–1-1-onto→ℝ* → ( I ↾ ℝ*):ℝ*⟶ℝ*)
5		fssxp 6060	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ ℝ*):ℝ*⟶ℝ* → ( I ↾ ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
6	3, 4, 5	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
7	2, 6	unssi 3788	. . 3 ⊢ ( < ∪ ( I ↾ ℝ*)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
8		relxp 5227	. . 3 ⊢ Rel (ℝ* × ℝ*)
9		relss 5206	. . 3 ⊢ (( < ∪ ( I ↾ ℝ*)) ⊆ (ℝ* × ℝ*) → (Rel (ℝ* × ℝ*) → Rel ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))))
10	7, 8, 9	mp2 9	. 2 ⊢ Rel ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))
11		lerelxr 10101	. . . 4 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
12	11	brel 5168	. . 3 ⊢ (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
13	7	brel 5168	. . 3 ⊢ (𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
14		xrleloe 11977	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦)))
15		resieq 5407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
16	15	orbi2d 738	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦)))
17	14, 16	bitr4d 271	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦)))
18		brun 4703	. . . 4 ⊢ (𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦))
19	17, 18	syl6bbr 278	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦))
20	12, 13, 19	pm5.21nii 368	. 2 ⊢ (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦)
21	1, 10, 20	eqbrriv 5215	1 ⊢ ≤ = ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))

Syntax hints:   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∪ cun 3572   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653   I cid 5023   × cxp 5112   ↾ cres 5116  Rel wrel 5119  ⟶wf 5884  –1-1-onto→wf1o 5887  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by: (None)