Theorem dford3 37595

Description: Ordinals are precisely the hereditarily transitive classes. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dford3	⊢ (Ord 𝑁 ↔ (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dford3

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 5737	. . 3 ⊢ (Ord 𝑁 → Tr 𝑁)
2		ordelord 5745	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → Ord 𝑥)
3		ordtr 5737	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝑥 → Tr 𝑥)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → Tr 𝑥)
5	4	ralrimiva 2966	. . 3 ⊢ (Ord 𝑁 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥)
6	1, 5	jca 554	. 2 ⊢ (Ord 𝑁 → (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥))
7		simpl 473	. . 3 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → Tr 𝑁)
8		dford3lem1 37593	. . . . 5 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → ∀𝑎 ∈ 𝑁 (Tr 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 Tr 𝑥))
9		dford3lem2 37594	. . . . . 6 ⊢ ((Tr 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 Tr 𝑥) → 𝑎 ∈ On)
10	9	ralimi 2952	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑁 (Tr 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 Tr 𝑥) → ∀𝑎 ∈ 𝑁 𝑎 ∈ On)
11	8, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → ∀𝑎 ∈ 𝑁 𝑎 ∈ On)
12		dfss3 3592	. . . 4 ⊢ (𝑁 ⊆ On ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑁 𝑎 ∈ On)
13	11, 12	sylibr 224	. . 3 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → 𝑁 ⊆ On)
14		ordon 6982	. . . 4 ⊢ Ord On
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → Ord On)
16		trssord 5740	. . 3 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ On ∧ Ord On) → Ord 𝑁)
17	7, 13, 15, 16	syl3anc 1326	. 2 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → Ord 𝑁)
18	6, 17	impbii 199	1 ⊢ (Ord 𝑁 ↔ (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912   ⊆ wss 3574  Tr wtr 4752  Ord word 5722  Oncon0 5723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729

This theorem is referenced by:  dford4  37596