Theorem difmap 39399

Description: Difference of two sets exponentiations. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
difmap.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
difmap.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
difmap.v	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑍)
difmap.n	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
difmap	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∖ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)))

Proof of Theorem difmap

Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difmap.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		difssd 3738	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
3		mapss 7900	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐴 ↑𝑚 𝐶))
4	1, 2, 3	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐴 ↑𝑚 𝐶))
5	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐴 ↑𝑚 𝐶))
6		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶))
7	5, 6	sseldd 3604	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶))
8		difmap.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ ∅)
9		n0 3931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶)
10	8, 9	sylib 208	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶)
11	10	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶)
12		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑓:𝐶⟶𝐵) → 𝑓:𝐶⟶𝐵)
13		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑓:𝐶⟶𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐶)
14	12, 13	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑓:𝐶⟶𝐵) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
15	14	adantll 750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑓:𝐶⟶𝐵) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
16		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) → 𝑓:𝐶⟶(𝐴 ∖ 𝐵))
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑓:𝐶⟶(𝐴 ∖ 𝐵))
18		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
19	17, 18	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑓‘𝑥) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
20		eldifn 3733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) → ¬ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ¬ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
22	21	ad4ant23 1297	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑓:𝐶⟶𝐵) → ¬ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
23	15, 22	pm2.65da 600	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ¬ 𝑓:𝐶⟶𝐵)
24	23	ex 450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → (𝑥 ∈ 𝐶 → ¬ 𝑓:𝐶⟶𝐵))
25	24	exlimdv 1861	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶 → ¬ 𝑓:𝐶⟶𝐵))
26	11, 25	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → ¬ 𝑓:𝐶⟶𝐵)
27		difmap.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
28		difmap.v	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑍)
29		elmapg 7870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶⟶𝐵))
30	27, 28, 29	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶⟶𝐵))
31	30	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶⟶𝐵))
32	26, 31	mtbird 315	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
33	7, 32	eldifd 3585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∖ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)))
34	33	ralrimiva 2966	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶)𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∖ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)))
35		dfss3 3592	. 2 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∖ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶)𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∖ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)))
36	34, 35	sylibr 224	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∖ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859

This theorem is referenced by:  difmapsn  39404