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Theorem difmap 39399
Description: Difference of two sets exponentiations. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
difmap.a |- ( ph -> A e. V )
difmap.b |- ( ph -> B e. W )
difmap.v |- ( ph -> C e. Z )
difmap.n |- ( ph -> C =/= (/) )
Assertion
Ref Expression
difmap |- ( ph -> ( ( A \ B ) ^m C ) C_ ( ( A ^m C ) \ ( B ^m C ) ) )
Proof of Theorem difmap
Dummy variables f x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difmap.a . . . . . . 7 |- ( ph -> A e. V )
2 difssd 3738 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( A \ B ) C_ A )
3 mapss 7900 . . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ ( A \ B ) C_ A ) -> ( ( A \ B ) ^m C ) C_ ( A ^m C ) )
41, 2, 3syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A \ B ) ^m C ) C_ ( A ^m C ) )
54adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. ( ( A \ B ) ^m C ) ) -> ( ( A \ B ) ^m C ) C_ ( A ^m C ) )
6 simpr 477 . . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. ( ( A \ B ) ^m C ) ) -> f e. ( ( A \ B ) ^m C ) )
75, 6sseldd 3604 . . . 4 |- ( ( ph /\ f e. ( ( A \ B ) ^m C ) ) -> f e. ( A ^m C ) )
8 difmap.n . . . . . . . 8 |- ( ph -> C =/= (/) )
9 n0 3931 . . . . . . . 8 |- ( C =/= (/) <-> E. x x e. C )
108, 9sylib 208 . . . . . . 7 |- ( ph -> E. x x e. C )
1110adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. ( ( A \ B ) ^m C ) ) -> E. x x e. C )
12 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. C /\ f : C --> B ) -> f : C --> B )
13 simpl 473 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. C /\ f : C --> B ) -> x e. C )
1412, 13ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. C /\ f : C --> B ) -> ( f ` x ) e. B )
1514adantll 750 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( ( A \ B ) ^m C ) ) /\ x e. C ) /\ f : C --> B ) -> ( f ` x ) e. B )
16 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( ( A \ B ) ^m C ) -> f : C --> ( A \ B ) )
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. ( ( A \ B ) ^m C ) /\ x e. C ) -> f : C --> ( A \ B ) )
18 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. ( ( A \ B ) ^m C ) /\ x e. C ) -> x e. C )
1917, 18ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( ( A \ B ) ^m C ) /\ x e. C ) -> ( f ` x ) e. ( A \ B ) )
20 eldifn 3733 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f ` x ) e. ( A \ B ) -> -. ( f ` x ) e. B )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( ( A \ B ) ^m C ) /\ x e. C ) -> -. ( f ` x ) e. B )
2221ad4ant23 1297 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( ( A \ B ) ^m C ) ) /\ x e. C ) /\ f : C --> B ) -> -. ( f ` x ) e. B )
2315, 22pm2.65da 600 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( A \ B ) ^m C ) ) /\ x e. C ) -> -. f : C --> B )
2423ex 450 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. ( ( A \ B ) ^m C ) ) -> ( x e. C -> -. f : C --> B ) )
2524exlimdv 1861 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. ( ( A \ B ) ^m C ) ) -> ( E. x x e. C -> -. f : C --> B ) )
2611, 25mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. ( ( A \ B ) ^m C ) ) -> -. f : C --> B )
27 difmap.b . . . . . . 7 |- ( ph -> B e. W )
28 difmap.v . . . . . . 7 |- ( ph -> C e. Z )
29 elmapg 7870 . . . . . . 7 |- ( ( B e. W /\ C e. Z ) -> ( f e. ( B ^m C ) <-> f : C --> B ) )
3027, 28, 29syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ph -> ( f e. ( B ^m C ) <-> f : C --> B ) )
3130adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. ( ( A \ B ) ^m C ) ) -> ( f e. ( B ^m C ) <-> f : C --> B ) )
3226, 31mtbird 315 . . . 4 |- ( ( ph /\ f e. ( ( A \ B ) ^m C ) ) -> -. f e. ( B ^m C ) )
337, 32eldifd 3585 . . 3 |- ( ( ph /\ f e. ( ( A \ B ) ^m C ) ) -> f e. ( ( A ^m C ) \ ( B ^m C ) ) )
3433ralrimiva 2966 . 2 |- ( ph -> A. f e. ( ( A \ B ) ^m C ) f e. ( ( A ^m C ) \ ( B ^m C ) ) )
35 dfss3 3592 . 2 |- ( ( ( A \ B ) ^m C ) C_ ( ( A ^m C ) \ ( B ^m C ) ) <-> A. f e. ( ( A \ B ) ^m C ) f e. ( ( A ^m C ) \ ( B ^m C ) ) )
3634, 35sylibr 224 1 |- ( ph -> ( ( A \ B ) ^m C ) C_ ( ( A ^m C ) \ ( B ^m C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859
This theorem is referenced by:  difmapsn  39404
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