Theorem eldm 5321

Description: Membership in a domain. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 2-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldm.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
eldm	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦 𝐴𝐵𝑦)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Proof of Theorem eldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		eldmg 5319	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦 𝐴𝐵𝑦))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦 𝐴𝐵𝑦)

Syntax hints:   ↔ wb 196  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   class class class wbr 4653  dom cdm 5114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-dm 5124

This theorem is referenced by:  dmi  5340  dmcoss  5385  dmcosseq  5387  dminss  5547  dmsnn0  5600  dffun7  5915  dffun8  5916  fnres  6007  opabiota  6261  fndmdif  6321  dff3  6372  frxp  7287  suppvalbr  7299  reldmtpos  7360  dmtpos  7364  aceq3lem  8943  axdc2lem  9270  axdclem2  9342  fpwwe2lem12  9463  nqerf  9752  shftdm  13811  xpsfrnel2  16225  bcthlem4  23124  dchrisumlem3  25180  eulerpath  27101  fundmpss  31664  elfix  32010  fnsingle  32026  fnimage  32036  funpartlem  32049  dfrecs2  32057  dfrdg4  32058  knoppcnlem9  32491  prtlem16  34154  undmrnresiss  37910