Theorem grpaddsubass 17505

Description: Associative-type law for group subtraction and addition. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpaddsubass	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 − 𝑍)))

Proof of Theorem grpaddsubass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
2		simpr1 1067	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simpr2 1068	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpsubadd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6	4, 5	grpinvcl 17467	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
7	6	3ad2antr3 1228	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
8		grpsubadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9	4, 8	grpass 17431	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘𝑍)) = (𝑋 + (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑍))))
10	1, 2, 3, 7, 9	syl13anc 1328	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘𝑍)) = (𝑋 + (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑍))))
11	4, 8	grpcl 17430	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
12	11	3adant3r3 1276	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
13		simpr3 1069	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
14		grpsubadd.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
15	4, 8, 5, 14	grpsubval 17465	. . 3 ⊢ (((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑍) = ((𝑋 + 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
16	12, 13, 15	syl2anc 693	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑍) = ((𝑋 + 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
17	4, 8, 5, 14	grpsubval 17465	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
18	3, 13, 17	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
19	18	oveq2d 6666	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 + (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑍))))
20	10, 16, 19	3eqtr4d 2666	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 − 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  Grpcgrp 17422  inv_gcminusg 17423  -_gcsg 17424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427

This theorem is referenced by:  grppncan  17506  grpnpncan  17510  nsgconj  17627  conjghm  17691  conjnmz  17694  conjnmzb  17695  sylow3lem1  18042  sylow3lem2  18043  abladdsub  18220  ablsubsub  18223  cpmadugsumlemF  20681  archiabllem2a  29748