Theorem grpinvcl 17467

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 17466	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelrnda 6359	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  Basecbs 15857  Grpcgrp 17422  inv_gcminusg 17423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426

This theorem is referenced by:  grprinv  17469  grpinvid1  17470  grpinvid2  17471  grplrinv  17473  grplcan  17477  grpasscan1  17478  grpasscan2  17479  grpinvinv  17482  grpinvcnv  17483  grpinvnzcl  17487  grpsubinv  17488  grplmulf1o  17489  grpinvssd  17492  grpinvadd  17493  grpsubf  17494  grpsubrcan  17496  grpinvsub  17497  grpinvval2  17498  grpsubeq0  17501  grpsubadd  17503  grpaddsubass  17505  grpnpcan  17507  dfgrp3  17514  grplactcnv  17518  grpsubpropd2  17521  prdsinvlem  17524  pwssub  17529  imasgrp  17531  ghmgrp  17539  mulgcl  17559  mulgaddcomlem  17563  mulginvcom  17565  mulginvinv  17566  mulgneg2  17575  subginv  17601  subginvcl  17603  issubg4  17613  grpissubg  17614  isnsg3  17628  subgacs  17629  nmzsubg  17635  eqger  17644  eqglact  17645  eqgcpbl  17648  qusgrp  17649  qusinv  17653  qussub  17654  ghminv  17667  ghmsub  17668  ghmrn  17673  ghmpreima  17682  ghmeql  17683  conjghm  17691  conjnmz  17694  galcan  17737  gacan  17738  gapm  17739  gaorber  17741  gastacl  17742  gastacos  17743  cntzsubg  17769  oppggrp  17787  symgsssg  17887  symgfisg  17888  odinv  17978  sylow2blem1  18035  sylow2blem3  18037  frgpuptf  18183  frgpuplem  18185  ablinvadd  18215  ablsub2inv  18216  ablsub4  18218  ablsubsub4  18224  mulgsubdi  18235  invghm  18239  eqgabl  18240  torsubg  18257  oddvdssubg  18258  cyggeninv  18285  ringnegl  18594  rngnegr  18595  ringmneg1  18596  ringmneg2  18597  ringm2neg  18598  ringsubdi  18599  rngsubdir  18600  dvdsrneg  18654  unitinvcl  18674  unitnegcl  18681  isdrng2  18757  cntzsubr  18812  abvneg  18834  abvsubtri  18835  lmodvnegcl  18904  lmodvneg1  18906  lmodvsneg  18907  lmodsubvs  18919  lmodsubdi  18920  lmodsubdir  18921  lssvsubcl  18944  lssvnegcl  18956  lspsnneg  19006  lmodvsinv  19036  lmodvsinv2  19037  lspexch  19129  lspsolvlem  19142  mplsubglem  19434  mplind  19502  zrhpsgninv  19931  evpmodpmf1o  19942  dsmmsubg  20087  cpmatinvcl  20522  chpscmatgsumbin  20649  chpscmatgsummon  20650  tgplacthmeo  21907  tgpconncomp  21916  qustgpopn  21923  tsmsxplem1  21956  tlmtgp  21999  isngp4  22416  ngpinvds  22417  ngpsubcan  22418  nmtri  22430  ngptgp  22440  tngngp3  22460  ncvspi  22956  deg1suble  23867  deg1sub  23868  dchr2sum  24998  dchrisum0re  25202  ogrpinvOLD  29715  ogrpinv0le  29716  ogrpsub  29717  ogrpaddltbi  29719  ogrpaddltrbid  29721  ogrpinv0lt  29723  ogrpinvlt  29724  archirngz  29743  archiabllem1b  29746  archiabllem2c  29749  orngsqr  29804  symgfcoeu  29845  madjusmdetlem3  29895  madjusmdetlem4  29896  lflsub  34354  lflnegcl  34362  ldualvsubcl  34443  ldualvsubval  34444  dvhgrp  36396  lcfrlem2  36832  lcdvsubval  36907  mapdpglem30  36991  baerlem3lem1  36996  baerlem5alem1  36997  baerlem5blem1  36998  baerlem5blem2  37001  invginvrid  42148  lincext1  42243  lindslinindimp2lem1  42247  ldepsprlem  42261  ldepspr  42262  lincresunit3lem3  42263  lincresunit3lem1  42268  lincresunit3lem2  42269  lincresunit3  42270