Theorem i1fmbf 23442

Description: Simple functions are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1fmbf	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem i1fmbf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 23441	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simplbi 476	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1037   ∈ wcel 1990   ∖ cdif 3571  {csn 4177  ^◡ccnv 5113  dom cdm 5114  ran crn 5115   “ cima 5117  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  Fincfn 7955  ℝcr 9935  0cc0 9936  volcvol 23232  MblFncmbf 23383  ∫₁citg1 23384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-sum 14417  df-itg1 23389

This theorem is referenced by:  i1fima  23445  i1fadd  23462  mbfmullem2  23491  itg2monolem1  23517  itg2i1fseq  23522  i1fibl  23574  itg2addnclem2  33462  ftc1anclem4  33488  ftc1anclem5  33489  ftc1anclem8  33492