Theorem itg2addnclem2 33462

Description: Lemma for itg2addnc 33464. The function described is a simple function. (Contributed by Brendan Leahy, 29-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2addnc.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
itg2addnc.f2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
itg2addnclem2	⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ dom ∫1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑣,ℎ,𝐹   𝜑,𝑣,𝑥,ℎ

Proof of Theorem itg2addnclem2

Dummy variables 𝑡 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2addnc.f2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2		rge0ssre 12280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
3		fss 6056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4	1, 2, 3	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
5	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6	5	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
7		rpre 11839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ+ → 𝑣 ∈ ℝ)
8		3re 11094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ
9		3ne0 11115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
10	8, 9	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0)
11		redivcl 10744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
12	11	3expb 1266	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0)) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
13	7, 10, 12	sylancl 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
14	13	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
15		rpcnne0 11850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0))
16		3cn 11095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
17	16, 9	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
18		divne0 10697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
19	15, 17, 18	sylancl 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ≠ 0)
20	19	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
21	6, 14, 20	redivcld 10853	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
22		reflcl 12597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
24		peano2rem 10348	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
26	25, 14	remulcld 10070	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
27		i1ff 23443	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ:ℝ⟶ℝ)
28	27	ad2antlr 763	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ℎ:ℝ⟶ℝ)
29	28	ffvelrnda 6359	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
30	26, 29	ifcld 4131	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
31		eqid 2622	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)))
32	30, 31	fmptd 6385	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))):ℝ⟶ℝ)
33		fzfi 12771	. . . . 5 ⊢ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∈ Fin
34		ovex 6678	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V
35		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) = (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
36	34, 35	fnmpti 6022	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) Fn (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
37		dffn4 6121	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) Fn (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↔ (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))))
38	36, 37	mpbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
39		fofi 8252	. . . . 5 ⊢ (((0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∈ Fin ∧ (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))) → ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin)
40	33, 38, 39	mp2an 708	. . . 4 ⊢ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin
41		i1frn 23444	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ran ℎ ∈ Fin)
42	41	ad2antlr 763	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran ℎ ∈ Fin)
43		unfi 8227	. . . 4 ⊢ ((ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin ∧ ran ℎ ∈ Fin) → (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ) ∈ Fin)
44	40, 42, 43	sylancr 695	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ) ∈ Fin)
45		3nn 11186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℕ
46		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ+
48		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
49	47, 48	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
50	49	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
51	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
52	51	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
53		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
54	52, 53	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
55	54	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
56	6, 50, 55	divge0d 11912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))
57		flge0nn0 12621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℕ0)
58	21, 56, 57	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℕ0)
59	58	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → 0 ≤ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
61		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ → ran ℎ ⊆ ℝ)
62	27, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ran ℎ ⊆ ℝ)
63		i1f0rn 23449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → 0 ∈ ran ℎ)
64		elex2 3216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ ran ℎ → ∃𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ∃𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ)
66		n0 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ran ℎ ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ)
67	65, 66	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ran ℎ ≠ ∅)
68		fimaxre2 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ran ℎ ⊆ ℝ ∧ ran ℎ ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥)
69	62, 41, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥)
70	62, 67, 69	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (ran ℎ ⊆ ℝ ∧ ran ℎ ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥))
71	70	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ran ℎ ⊆ ℝ ∧ ran ℎ ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥))
72		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ → ℎ Fn ℝ)
73	27, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ Fn ℝ)
74		dffn3 6054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ Fn ℝ ↔ ℎ:ℝ⟶ran ℎ)
75	73, 74	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ:ℝ⟶ran ℎ)
76	75	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ℎ:ℝ⟶ran ℎ)
77	76	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℎ‘𝑥) ∈ ran ℎ)
78		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ran ℎ ⊆ ℝ ∧ ran ℎ ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ ran ℎ) → (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ))
79	71, 77, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ))
80		suprcl 10983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ran ℎ ⊆ ℝ ∧ ran ℎ ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(ran ℎ, ℝ, < ) ∈ ℝ)
81	62, 67, 69, 80	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → sup(ran ℎ, ℝ, < ) ∈ ℝ)
82	81	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → sup(ran ℎ, ℝ, < ) ∈ ℝ)
83		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ sup(ran ℎ, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )))
84	26, 29, 82, 83	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )))
85	25, 82, 50	lemuldivd 11921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ) ↔ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3))))
86		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
87	82, 14, 20	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
88	23, 86, 87	lesubaddd 10624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ↔ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
89	85, 88	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ) ↔ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
90		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
91	87, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
92		ceige 12644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
94		ceicl 12642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ)
95	91, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ)
96	95	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ)
97		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ ∧ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ ∧ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∧ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
98	23, 91, 96, 97	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∧ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
99	93, 98	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
100	89, 99	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
101	84, 100	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
102	79, 101	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
103	102	adantrd 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
104	103	imp 445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
105	21	flcld 12599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
106	105	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
107		0zd 11389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → 0 ∈ ℤ)
108	95	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ)
109		elfz 12332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↔ (0 ≤ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∧ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))))
110	106, 107, 108, 109	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↔ (0 ≤ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∧ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))))
111	60, 104, 110	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
112		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))
113		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) → (𝑡 − 1) = ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1))
114	113	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) → ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))
115	114	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)) ↔ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
116	115	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∧ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) → ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
117	111, 112, 116	sylancl 694	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
118		ovex 6678	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V
119	35	elrnmpt 5372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))))
120	118, 119	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
121	117, 120	sylibr 224	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))))
122		elun1 3780	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ))
123	121, 122	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ))
124		elun2 3781	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ran ℎ → (ℎ‘𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ))
125	77, 124	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℎ‘𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ))
126	125	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (ℎ‘𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ))
127	123, 126	ifclda 4120	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ))
128	127, 31	fmptd 6385	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))):ℝ⟶(ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ))
129		frn 6053	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))):ℝ⟶(ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ))
130	128, 129	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ))
131		ssfi 8180	. . 3 ⊢ (((ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ) ∈ Fin ∧ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ Fin)
132	44, 130, 131	syl2anc 693	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ Fin)
133	31	mptpreima 5628	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}}
134		unrab 3898	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))}
135		inrab 3899	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)}
136	135	ineq1i 3810	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))})
137		inrab 3899	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))}
138	136, 137	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))}
139		unrab 3898	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0)}
140	139	ineq1i 3810	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})
141		inrab 3899	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))}
142	140, 141	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))}
143	138, 142	uneq12i 3765	. . . . 5 ⊢ ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))})
144		eqcom 2629	. . . . . . . 8 ⊢ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 𝑡 ↔ 𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)))
145		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ‘𝑥) ∈ V
146	118, 145	ifex 4156	. . . . . . . . 9 ⊢ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ V
147	146	elsn 4192	. . . . . . . 8 ⊢ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 𝑡)
148		ianor 509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ↔ (¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ≠ 0))
149		nne 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ (ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ (ℎ‘𝑥) = 0)
150	149	orbi2i 541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ↔ (¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0))
151	148, 150	bitr2i 265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ↔ ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0))
152	151	anbi1i 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)) ↔ (¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))
153	152	orbi2i 541	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))) ↔ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ (¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))))
154		eqif 4126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ↔ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ (¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))))
155	153, 154	bitr4i 267	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))) ↔ 𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)))
156	144, 147, 155	3bitr4i 292	. . . . . . 7 ⊢ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))))
157	156	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))))
158	157	rabbiia 3185	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))}
159	134, 143, 158	3eqtr4ri 2655	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} = ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}))
160	133, 159	eqtri 2644	. . 3 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) = ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}))
161		eldifi 3732	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) → 𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))))
162		frn 6053	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))):ℝ⟶ℝ → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ ℝ)
163	32, 162	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ ℝ)
164	163	sseld 3602	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → 𝑡 ∈ ℝ))
165	161, 164	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) → 𝑡 ∈ ℝ))
166	165	imdistani 726	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ))
167		rabiun 33382	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}
168		cnvimarndm 5486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡ℎ “ ran ℎ) = dom ℎ
169		iunid 4575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑡} = ran ℎ
170	169	imaeq2i 5464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (◡ℎ “ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑡}) = (◡ℎ “ ran ℎ)
171		imaiun 6503	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (◡ℎ “ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑡}) = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡})
172	170, 171	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡ℎ “ ran ℎ) = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡})
173	168, 172	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom ℎ = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡})
174		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ → dom ℎ = ℝ)
175	27, 174	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → dom ℎ = ℝ)
176	173, 175	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ)
177	176	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ)
178		rabeq 3192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ → {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)})
179	177, 178	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)})
180	167, 179	syl5eqr 2670	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)})
181		fniniseg 6338	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ Fn ℝ → (𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) = 𝑡)))
182	27, 72, 181	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) = 𝑡)))
183	182	simplbda 654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡})) → (ℎ‘𝑥) = 𝑡)
184	183	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡})) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ↔ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
185	184	rabbidva 3188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
186		inrab2 3900	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}
187		imassrn 5477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (◡ℎ “ {𝑡}) ⊆ ran ◡ℎ
188		dfdm4 5316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ dom ℎ = ran ◡ℎ
189	188, 175	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ran ◡ℎ = ℝ)
190	187, 189	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ {𝑡}) ⊆ ℝ)
191		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((◡ℎ “ {𝑡}) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡}))
192	190, 191	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡}))
193		rabeq 3192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡}) → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
194	192, 193	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
195	186, 194	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
196	185, 195	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})))
197	196	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})))
198	25	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
199	62	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran ℎ ⊆ ℝ)
200	199	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → 𝑡 ∈ ℝ)
201	200	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
202	49	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
203	198, 201, 202	lemuldivd 11921	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡 ↔ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (𝑡 / (𝑣 / 3))))
204	23	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
205		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
206	13	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
207	19	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
208	201, 206, 207	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
209	204, 205, 208	lesubaddd 10624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)))
210	6	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
211		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
212	208, 211	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
213		reflcl 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ)
214	212, 213	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ)
215		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ → ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
216	214, 215	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
217	210, 216, 202	ltdivmuld 11923	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ↔ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))
218	21	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
219		flflp1 12608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))
220	218, 212, 219	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))
221	206, 216	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈ ℝ)
222	221	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈ ℝ*)
223		elioomnf 12268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
224	222, 223	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
225	210	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
226	224, 225	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))
227	217, 220, 226	3bitr4d 300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
228	203, 209, 227	3bitrd 294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡 ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
229	228	rabbidva 3188	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))})
230	1	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
231	230	cnveqd 5298	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 = ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
232	231	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
233		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥))
234	233	mptpreima 5628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))}
235	232, 234	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))})
236	235	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))})
237	229, 236	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
238		itg2addnc.f1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
239		mbfima 23399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom vol)
240	238, 4, 239	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom vol)
241	240	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom vol)
242	237, 241	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol)
243	62	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ran ℎ → 𝑡 ∈ ℝ))
244	243	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ ran ℎ → 𝑡 ∈ ℝ))
245	244	imdistani 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ))
246		i1fmbf 23442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ ∈ MblFn)
247	246, 27	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ:ℝ⟶ℝ))
248	247	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ:ℝ⟶ℝ))
249		mbfimasn 23401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol)
250	249	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol)
251	248, 250	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol)
252	245, 251	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol)
253		inmbl 23310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol ∧ (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol)
254	242, 252, 253	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol)
255	197, 254	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
256	255	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∀𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
257		finiunmbl 23312	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ran ℎ ∈ Fin ∧ ∀𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
258	42, 256, 257	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
259	180, 258	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
260		unrab 3898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))}
261	27	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)))
262	261	cnveqd 5298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ◡ℎ = ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)))
263	262	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (-∞(,)0)) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (-∞(,)0)))
264		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥))
265	264	mptpreima 5628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (-∞(,)0)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)}
266	263, 265	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (-∞(,)0)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)})
267	262	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (0(,)+∞)) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (0(,)+∞)))
268	264	mptpreima 5628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (0(,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)}
269	267, 268	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (0(,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)})
270	266, 269	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)}))
271	27	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
272		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
273		lttri2 10120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥))))
274	272, 273	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥))))
275		ibar 525	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → (((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥)) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥)))))
276		andi 911	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥))) ↔ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0) ∨ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥))))
277		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ*
278		elioomnf 12268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ ℝ* → ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0)))
279		elioopnf 12267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ ℝ* → ((ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥))))
280	278, 279	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)) ↔ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0) ∨ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥)))))
281	277, 280	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)) ↔ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0) ∨ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥))))
282	276, 281	bitr4i 267	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥))) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)))
283	275, 282	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → (((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥)) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))))
284	274, 283	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))))
285	271, 284	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))))
286	285	rabbidva 3188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))})
287	260, 270, 286	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0})
288		i1fima 23445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∈ dom vol)
289		i1fima 23445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (0(,)+∞)) ∈ dom vol)
290		unmbl 23305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∈ dom vol ∧ (◡ℎ “ (0(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
291	288, 289, 290	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
292	287, 291	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} ∈ dom vol)
293	292	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} ∈ dom vol)
294		inmbl 23310	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol)
295	259, 293, 294	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol)
296	295	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol)
297	23	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℂ)
298	297	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℂ)
299		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
300		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
301	13	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
302	19	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
303	300, 301, 302	redivcld 10853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
304	303	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℂ)
305	298, 299, 304	subadd2d 10411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))))
306		eqcom 2629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) = ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1))
307		recn 10026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
308	307	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
309	25	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℂ)
310	309	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℂ)
311	13	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ∈ ℂ)
312	311	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℂ)
313	308, 310, 312, 302	divmul3d 10835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) = ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
314	306, 313	syl5bb 272	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
315	305, 314	bitr3d 270	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
316	315	rabbidva 3188	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))})
317		imaundi 5545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡𝐹 “ ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
318	231	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ◡𝐹 = ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
319		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
320	319	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
321	13	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
322	320, 321	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
323	322	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ*)
324		peano2z 11418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℤ)
325	324	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
326	325	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
327	321, 326	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
328	327	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ*)
329		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℂ)
330	329	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℂ)
331	311	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℂ)
332	330, 331	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑣 / 3) · ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)))
333	49	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
334	319	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
335	334	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
336	320, 326, 333, 335	ltmul2dd 11928	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))
337	332, 336	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))
338		snunioo 12298	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ* ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) → ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
339	323, 328, 337, 338	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
340	318, 339	imaeq12d 5467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡𝐹 “ ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
341	317, 340	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
342	233	mptpreima 5628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))}
343	4	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
344	343	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
345	344	3biant1d 1441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
346	345	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
347	319	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
348	344	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
349	49	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
350	347, 348, 349	lemuldivd 11921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
351	325	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
352	348, 351, 349	ltdivmuld 11923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ↔ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
353	352	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ↔ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))
354	350, 353	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
355	346, 354	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
356		elico2 12237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
357	322, 328, 356	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
358	357	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
359		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1))
360	21	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
361		flbi 12617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
362	360, 361	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
363	359, 362	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
364	355, 358, 363	3bitr4d 300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))))
365	364	an32s 846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))))
366	365	rabbidva 3188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))})
367	342, 366	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))})
368	341, 367	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))})
369	238	ad4antr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → 𝐹 ∈ MblFn)
370	4	ad4antr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
371		mbfimasn 23401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
372	369, 370, 322, 371	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
373		mbfima 23399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol)
374	238, 4, 373	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol)
375	374	ad4antr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol)
376		unmbl 23305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) ∈ dom vol)
377	372, 375, 376	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) ∈ dom vol)
378	368, 377	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol)
379		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
380	360	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
381	380	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
382	379, 381	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ)
383	382	stoic1a 1697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
384	383	an32s 846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
385	384	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
386		rabeq0 3957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
387	385, 386	sylibr 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} = ∅)
388		0mbl 23307	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ dom vol
389	387, 388	syl6eqel 2709	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol)
390	378, 389	pm2.61dan 832	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol)
391	316, 390	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))} ∈ dom vol)
392		inmbl 23310	. . . . . 6 ⊢ ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))} ∈ dom vol) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
393	296, 391, 392	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
394		rabiun 33382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}
395		rabeq 3192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ → {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)})
396	176, 395	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)})
397	394, 396	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)})
398	397	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)})
399	184	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡})) → (¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
400	399	rabbidva 3188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
401		inrab2 3900	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}
402		rabeq 3192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡}) → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
403	192, 402	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
404	401, 403	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
405	400, 404	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})))
406	405	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})))
407		imaundi 5545	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (◡𝐹 “ ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)))
408	13, 19	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ+ → ((𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ≠ 0))
409		redivcl 10744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ≠ 0) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
410	409	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ ((𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ≠ 0)) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
411	408, 410	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
412	411	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ+ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
413	412	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
414	413, 211	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
415		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
416		reflcl 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
417	414, 415, 416	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
418	13	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
419	417, 418	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
420	419	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ*)
421		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
422	421	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
423		ltpnf 11954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) < +∞)
424	419, 423	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) < +∞)
425		snunioo 12298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) < +∞) → ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) = (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞))
426	420, 422, 424, 425	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) = (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞))
427	426	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)))
428	407, 427	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)))
429	231	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)))
430	233	mptpreima 5628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)}
431	429, 430	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)})
432	431	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)})
433	414, 415	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
434	433	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
435		flflp1 12608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1)))
436	434, 360, 435	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1)))
437	419	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
438		elicopnf 12269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥))))
439	437, 438	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥))))
440	344	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥))))
441	417	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
442	49	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
443	441, 344, 442	lemuldivd 11921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
444	439, 440, 443	3bitr2d 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
445	414	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
446	360, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
447		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
448	445, 446, 447	ltadd1d 10620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1)))
449	436, 444, 448	3bitr4d 300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))))
450	303, 447, 446	ltaddsubd 10627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1)))
451	449, 450	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1)))
452	446, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
453	300, 452, 442	ltdivmul2d 11924	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ↔ 𝑡 < (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
454	452, 301	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
455	300, 454	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 < (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
456	451, 453, 455	3bitrd 294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
457	456	rabbidva 3188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
458	428, 432, 457	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
459	238	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ MblFn)
460		mbfimasn 23401	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
461	459, 343, 419, 460	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
462		mbfima 23399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol)
463	238, 4, 462	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol)
464	463	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol)
465		unmbl 23305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) ∈ dom vol)
466	461, 464, 465	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) ∈ dom vol)
467	458, 466	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol)
468	245, 467	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol)
469		inmbl 23310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol ∧ (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol)
470	468, 252, 469	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol)
471	406, 470	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
472	471	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∀𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
473		finiunmbl 23312	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ran ℎ ∈ Fin ∧ ∀𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
474	42, 472, 473	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
475	398, 474	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
476	262	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ {0}) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {0}))
477	264	mptpreima 5628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}}
478	145	elsn 4192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ {0} ↔ (ℎ‘𝑥) = 0)
479	478	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((ℎ‘𝑥) ∈ {0} ↔ (ℎ‘𝑥) = 0))
480	479	rabbiia 3185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}
481	477, 480	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}
482	476, 481	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0})
483		i1fima 23445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ {0}) ∈ dom vol)
484	482, 483	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0} ∈ dom vol)
485	484	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0} ∈ dom vol)
486		unmbl 23305	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0} ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol)
487	475, 485, 486	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol)
488	487	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol)
489	262	imaeq1d 5465	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ {𝑡}) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {𝑡}))
490	264	mptpreima 5628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡}}
491	145	elsn 4192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡} ↔ (ℎ‘𝑥) = 𝑡)
492		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℎ‘𝑥) = 𝑡 ↔ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))
493	491, 492	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡} ↔ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))
494	493	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡} ↔ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))
495	494	rabbiia 3185	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}
496	490, 495	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}
497	489, 496	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})
498	497	ad3antlr 767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (◡ℎ “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})
499	498, 251	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
500		inmbl 23310	. . . . . 6 ⊢ ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) ∈ dom vol)
501	488, 499, 500	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) ∈ dom vol)
502		unmbl 23305	. . . . 5 ⊢ (((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) ∈ dom vol) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) ∈ dom vol)
503	393, 501, 502	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) ∈ dom vol)
504	166, 503	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) ∈ dom vol)
505	160, 504	syl5eqel 2705	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∈ dom vol)
506		mblvol 23298	. . . 4 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∈ dom vol → (vol‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) = (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})))
507	505, 506	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (vol‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) = (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})))
508		eldifsn 4317	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) ↔ (𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∧ 𝑡 ≠ 0))
509	164	anim1d 588	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ((𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)))
510	508, 509	syl5bi 232	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)))
511	510	imdistani 726	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)))
512	133	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}})
513	476, 477	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}})
514	512, 513	ineq12d 3815	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}}))
515		inrab 3899	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})}
516	514, 515	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})})
517	516	ad3antlr 767	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})})
518	149	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → ¬ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)
519	518	intnand 962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0))
520	519	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = (ℎ‘𝑥))
521		eqtr 2641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 0)
522	520, 521	mpancom 703	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 0)
523	522	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 0)
524		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → 𝑡 ≠ 0)
525	524	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → 0 ≠ 𝑡)
526	523, 525	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡)
527	526	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡))
528		orcom 402	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ (¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0} ∨ ¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}))
529		ianor 509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ (¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}))
530		imor 428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ {0} → ¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}) ↔ (¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0} ∨ ¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}))
531	528, 529, 530	3bitr4i 292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ {0} → ¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}))
532	147	necon3bbii 2841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡)
533	478, 532	imbi12i 340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ {0} → ¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}) ↔ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡))
534	531, 533	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡))
535	527, 534	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}))
536	535	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ≠ 0 → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}))
537		rabeq0 3957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}))
538	536, 537	sylibr 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ≠ 0 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})} = ∅)
539	538	ad2antll 765	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})} = ∅)
540	517, 539	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ∅)
541		imassrn 5477	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ran ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)))
542		dfdm4 5316	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = ran ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)))
543	146, 31	dmmpti 6023	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = ℝ
544	542, 543	eqtr3i 2646	. . . . . . . . 9 ⊢ ran ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = ℝ
545	541, 544	sseqtri 3637	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ℝ
546		reldisj 4020	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ℝ → (((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ∅ ↔ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))))
547	545, 546	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ∅ ↔ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0})))
548	540, 547	sylib 208	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0})))
549		ffun 6048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ → Fun ℎ)
550		difpreima 6343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Fun ℎ → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = ((◡ℎ “ ran ℎ) ∖ (◡ℎ “ {0})))
551	549, 550	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = ((◡ℎ “ ran ℎ) ∖ (◡ℎ “ {0})))
552	168, 174	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ → (◡ℎ “ ran ℎ) = ℝ)
553	552	difeq1d 3727	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ → ((◡ℎ “ ran ℎ) ∖ (◡ℎ “ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0})))
554	551, 553	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0})))
555	27, 554	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0})))
556	555	ad3antlr 767	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0})))
557	548, 556	sseqtr4d 3642	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})))
558		imassrn 5477	. . . . . . 7 ⊢ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆ ran ◡ℎ
559	558, 189	syl5sseq 3653	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆ ℝ)
560	559	ad3antlr 767	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆ ℝ)
561		i1fima 23445	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ∈ dom vol)
562		mblvol 23298	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ∈ dom vol → (vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) = (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))))
563	561, 562	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) = (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))))
564		neldifsn 4321	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 0 ∈ (ran ℎ ∖ {0})
565		i1fima2 23446	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ (ran ℎ ∖ {0})) → (vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
566	564, 565	mpan2 707	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
567	563, 566	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
568	567	ad3antlr 767	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
569		ovolsscl 23254	. . . . 5 ⊢ (((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ∧ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈ ℝ) → (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
570	557, 560, 568, 569	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
571	511, 570	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
572	507, 571	eqeltrd 2701	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (vol‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
573	32, 132, 505, 572	i1fd 23448	1 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ dom ∫1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ifcif 4086  {csn 4177  ∪ ciun 4520   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ^◡ccnv 5113  dom cdm 5114  ran crn 5115   “ cima 5117  Fun wfun 5882   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  –onto→wfo 5886  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  supcsup 8346  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  +∞cpnf 10071  -∞cmnf 10072  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  -cneg 10267   / cdiv 10684  ℕcn 11020  3c3 11071  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℝ⁺crp 11832  (,)cioo 12175  [,)cico 12177  ...cfz 12326  ⌊cfl 12591  vol*covol 23231  volcvol 23232  MblFncmbf 23383  ∫₁citg1 23384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389

This theorem is referenced by:  itg2addnclem3  33463