Theorem infpssrlem5 9129

Description: Lemma for infpssr 9130. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
infpssrlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
infpssrlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
infpssrlem.d	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
infpssrlem.e	⊢ 𝐺 = (rec(◡𝐹, 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
infpssrlem5	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 → ω ≼ 𝐴))

Proof of Theorem infpssrlem5

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infpssrlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
2		infpssrlem.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
3		infpssrlem.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
4		infpssrlem.e	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec(◡𝐹, 𝐶) ↾ ω)
5	1, 2, 3, 4	infpssrlem3 9127	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶𝐴)
6		simpll 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → 𝜑)
7		simplrr 801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → 𝑐 ∈ ω)
8		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → 𝑏 ∈ 𝑐)
9	1, 2, 3, 4	infpssrlem4 9128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → (𝐺‘𝑐) ≠ (𝐺‘𝑏))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → (𝐺‘𝑐) ≠ (𝐺‘𝑏))
11	10	necomd 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → (𝐺‘𝑏) ≠ (𝐺‘𝑐))
12		simpll 790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝜑)
13		simplrl 800	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝑏 ∈ ω)
14		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝑏)
15	1, 2, 3, 4	infpssrlem4 9128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → (𝐺‘𝑏) ≠ (𝐺‘𝑐))
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → (𝐺‘𝑏) ≠ (𝐺‘𝑐))
17	11, 16	jaodan 826	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏)) → (𝐺‘𝑏) ≠ (𝐺‘𝑐))
18	17	ex 450	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ((𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏) → (𝐺‘𝑏) ≠ (𝐺‘𝑐)))
19	18	necon2bd 2810	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑐) → ¬ (𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏)))
20		nnord 7073	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ω → Ord 𝑏)
21		nnord 7073	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ ω → Ord 𝑐)
22		ordtri3 5759	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝑏 ∧ Ord 𝑐) → (𝑏 = 𝑐 ↔ ¬ (𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏)))
23	20, 21, 22	syl2an 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) → (𝑏 = 𝑐 ↔ ¬ (𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏)))
24	23	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → (𝑏 = 𝑐 ↔ ¬ (𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏)))
25	19, 24	sylibrd 249	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
26	25	ralrimivva 2971	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ ω ((𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
27		dff13 6512	. . 3 ⊢ (𝐺:ω–1-1→𝐴 ↔ (𝐺:ω⟶𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ ω ((𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
28	5, 26, 27	sylanbrc 698	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1→𝐴)
29		f1domg 7975	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐺:ω–1-1→𝐴 → ω ≼ 𝐴))
30	28, 29	syl5com 31	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 → ω ≼ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  ^◡ccnv 5113   ↾ cres 5116  Ord word 5722  ⟶wf 5884  –1-1→wf1 5885  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  ωcom 7065  reccrdg 7505   ≼ cdom 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-dom 7957

This theorem is referenced by:  infpssr  9130