Theorem iunmapss 39407

Description: The indexed union of set exponentiations is a subset of the set exponentiation of the indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunmapss.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
iunmapss.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
iunmapss.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
iunmapss	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑𝑚 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem iunmapss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunmapss.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		iunmapss.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		iunmapss.b	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
4	3	ex 450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝑊))
5	1, 4	ralrimi 2957	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊)
6		iunexg 7143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
7	2, 5, 6	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
8	7	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
9		ssiun2 4563	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
10	9	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
11		mapss 7900	. . . . 5 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑𝑚 𝐶))
12	8, 10, 11	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑𝑚 𝐶))
13	12	ex 450	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑𝑚 𝐶)))
14	1, 13	ralrimi 2957	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑𝑚 𝐶))
15		nfiu1 4550	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
16		nfcv 2764	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 ↑𝑚
17		nfcv 2764	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
18	15, 16, 17	nfov 6676	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑𝑚 𝐶)
19	18	iunssf 39263	. 2 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑𝑚 𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑𝑚 𝐶))
20	14, 19	sylibr 224	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑𝑚 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384  Ⅎwnf 1708   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  ∪ ciun 4520  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859

This theorem is referenced by:  iunmapsn  39409