Theorem latmle2 17077

Description: A meet is less than or equal to its second argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmle2	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Proof of Theorem latmle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		simp1 1061	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1062	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1063	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8	1, 7, 3, 4, 5, 6	latcl2 17048	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ))
9	8	simprd 479	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lemeet2 17027	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653  dom cdm 5114  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  lecple 15948  joincjn 16944  meetcmee 16945  Latclat 17045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-glb 16975  df-meet 16977  df-lat 17046

This theorem is referenced by:  latmlem1  17081  latledi  17089  mod1ile  17105  oldmm1  34504  olm01  34523  cmtcomlemN  34535  cmtbr4N  34542  meetat  34583  cvrexchlem  34705  cvrat4  34729  2llnmj  34846  2lplnmj  34908  dalem25  34984  dalem54  35012  dalem57  35015  cdlema1N  35077  cdlemb  35080  llnexchb2lem  35154  llnexch2N  35156  dalawlem1  35157  dalawlem3  35159  pl42lem1N  35265  lhpelim  35323  lhpat3  35332  4atexlemunv  35352  4atexlemtlw  35353  4atexlemnclw  35356  4atexlemex2  35357  lautm  35380  trlle  35471  cdlemc2  35479  cdlemc5  35482  cdlemd2  35486  cdleme0b  35499  cdleme0c  35500  cdleme0fN  35505  cdleme01N  35508  cdleme0ex1N  35510  cdleme2  35515  cdleme3b  35516  cdleme3c  35517  cdleme3g  35521  cdleme3h  35522  cdleme7aa  35529  cdleme7c  35532  cdleme7d  35533  cdleme7e  35534  cdleme7ga  35535  cdleme11fN  35551  cdleme11k  35555  cdleme15d  35564  cdleme16f  35570  cdlemednpq  35586  cdleme19c  35593  cdleme20aN  35597  cdleme20c  35599  cdleme20j  35606  cdleme21c  35615  cdleme21ct  35617  cdleme22cN  35630  cdleme22f  35634  cdleme23a  35637  cdleme28a  35658  cdleme35d  35740  cdleme35f  35742  cdlemeg46frv  35813  cdlemeg46rgv  35816  cdlemeg46req  35817  cdlemg2fv2  35888  cdlemg2m  35892  cdlemg4  35905  cdlemg10bALTN  35924  cdlemg31b  35986  trlcolem  36014  cdlemk14  36142  dia2dimlem1  36353  docaclN  36413  doca2N  36415  djajN  36426  dihjustlem  36505  dihord1  36507  dihord2a  36508  dihord2b  36509  dihord2cN  36510  dihord11b  36511  dihord11c  36513  dihord2pre  36514  dihlsscpre  36523  dihvalcq2  36536  dihopelvalcpre  36537  dihord6apre  36545  dihord5b  36548  dihord5apre  36551  dihmeetlem1N  36579  dihglblem5apreN  36580  dihglblem3N  36584  dihmeetbclemN  36593  dihmeetlem4preN  36595  dihmeetlem7N  36599  dihmeetlem9N  36604  dihjatcclem4  36710