Theorem ldilcnv 35401

Description: The converse of a lattice dilation is a lattice dilation. (Contributed by NM, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldilcnv.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ldilcnv.d	⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ldilcnv	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → ◡𝐹 ∈ 𝐷)

Proof of Theorem ldilcnv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 790	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ HL)
2		ldilcnv.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4		ldilcnv.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	ldillaut 35397	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
6	3	lautcnv 35376	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾)) → ◡𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
7	1, 5, 6	syl2anc 693	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → ◡𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
8		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10	8, 9, 2, 4	ldilval 35399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑥)
11	10	3expa 1265	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑥)
12	11	3impb 1260	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹‘𝑥) = 𝑥)
13	12	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = (◡𝐹‘𝑥))
14	8, 2, 4	ldil1o 35398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
15	14	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
16		simp2 1062	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
17		f1ocnvfv1 6532	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
18	15, 16, 17	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
19	13, 18	eqtr3d 2658	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (◡𝐹‘𝑥) = 𝑥)
20	19	3exp 1264	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) → (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (◡𝐹‘𝑥) = 𝑥)))
21	20	ralrimiv 2965	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (◡𝐹‘𝑥) = 𝑥))
22	8, 9, 2, 3, 4	isldil 35396	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (◡𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (◡𝐹 ∈ (LAut‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (◡𝐹‘𝑥) = 𝑥))))
23	22	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (◡𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (◡𝐹 ∈ (LAut‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (◡𝐹‘𝑥) = 𝑥))))
24	7, 21, 23	mpbir2and 957	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → ◡𝐹 ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912   class class class wbr 4653  ^◡ccnv 5113  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  Basecbs 15857  lecple 15948  HLchlt 34637  LHypclh 35270  LAutclaut 35271  LDilcldil 35386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-laut 35275  df-ldil 35390

This theorem is referenced by:  ltrncnv  35432