Theorem nbgrel 26238

Description: Characterization of a neighbor of a vertex 𝑉 in a graph 𝐺. (Contributed by Alexander van der Vekens and Mario Carneiro, 9-Oct-2017.) (Revised by AV, 26-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 6-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbgrel.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbgrel.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nbgrel	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝐾   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉   𝑒,𝑊

Proof of Theorem nbgrel

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbgrcl 26233	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
2		nbgrel.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	1, 2	syl6eleqr 2712	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) → 𝑁 ∈ 𝑉)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) → 𝑁 ∈ 𝑉))
5	4	pm4.71rd 667	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁))))
6		nbgrel.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
7	2, 6	nbgrval 26234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒})
8	7	eleq2d 2687	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ 𝐾 ∈ {𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒}))
9		preq2 4269	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → {𝑁, 𝑘} = {𝑁, 𝐾})
10	9	sseq1d 3632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ({𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))
11	10	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))
12	11	elrab 3363	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒} ↔ (𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))
13		eldifsn 4317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ≠ 𝑁))
14	13	anbi1i 731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒) ↔ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ≠ 𝑁) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))
15		anass 681	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ≠ 𝑁) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒) ↔ (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
16	12, 14, 15	3bitri 286	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒} ↔ (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
17	8, 16	syl6bb 276	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))))
18	17	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))))
19	18	pm5.32da 673	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))))
20		3anass 1042	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒) ↔ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
21		ancom 466	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑉))
22	21	anbi1i 731	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)) ↔ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑉) ∧ (𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
23		anass 681	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑉) ∧ (𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)) ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))))
24	20, 22, 23	3bitrri 287	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))) ↔ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))
25	19, 24	syl6bb 276	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁)) ↔ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
26	5, 25	bitrd 268	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ≠ 𝑁 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∃wrex 2913  {crab 2916   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  {csn 4177  {cpr 4179  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   NeighbVtx cnbgr 26224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-nbgr 26228

This theorem is referenced by:  nbgr2vtx1edg  26246  nbuhgr2vtx1edgblem  26247  nbuhgr2vtx1edgb  26248  nbgrisvtx  26255  nbgrsym  26265  isuvtxa  26295  iscplgredg  26313  cusgrexi  26339  structtocusgr  26342