Theorem iscplgredg 26313

Description: A graph is complete iff all vertices are connected with each other by (at least) one edge. (Contributed by AV, 10-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscplgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
iscplgredg.v	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
iscplgredg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉   𝑛,𝐺,𝑣   𝑛,𝑉   𝑣,𝑊   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑉   𝑒,𝑊,𝑛,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem iscplgredg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscplgr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	iscplgrnb 26312	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
3		df-3an 1039	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
5		iscplgredg.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	1, 5	nbgrel 26238	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
7	6	ad2antrr 762	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
8		eldifsn 4317	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) ↔ (𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ≠ 𝑣))
9		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
10		simpl 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ≠ 𝑣) → 𝑛 ∈ 𝑉)
11	9, 10	anim12ci 591	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ≠ 𝑣)) → (𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
12		simprr 796	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ≠ 𝑣)) → 𝑛 ≠ 𝑣)
13	11, 12	jca 554	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ≠ 𝑣)) → ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣))
14	8, 13	sylan2b 492	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣))
15	14	biantrurd 529	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ (((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
16	4, 7, 15	3bitr4d 300	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
17	16	ralbidva 2985	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
18	17	ralbidva 2985	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
19	2, 18	bitrd 268	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  {csn 4177  {cpr 4179  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   NeighbVtx cnbgr 26224  ComplGraphccplgr 26226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-nbgr 26228  df-uvtxa 26230  df-cplgr 26231

This theorem is referenced by:  cplgrop  26333  cusconngr  27051