Theorem neindisj2 20927

Description: A point 𝑃 belongs to the closure of a set 𝑆 iff every neighborhood of 𝑃 meets 𝑆. (Contributed by FL, 15-Sep-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpnei.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
neindisj2	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐽   𝑃,𝑛   𝑆,𝑛   𝑛,𝑋

Proof of Theorem neindisj2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpnei.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	elcls 20877	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
3	1	isneip 20909	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑛 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑛))))
4		r19.29r 3073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑛) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐽 ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑛) ∧ (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
5		pm3.35 611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
6		ssrin 3838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑛 → (𝑥 ∩ 𝑆) ⊆ (𝑛 ∩ 𝑆))
7		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∩ 𝑆) = ∅ → ((𝑥 ∩ 𝑆) ⊆ (𝑛 ∩ 𝑆) ↔ (𝑥 ∩ 𝑆) ⊆ ∅))
8		ss0 3974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑆) ⊆ ∅ → (𝑥 ∩ 𝑆) = ∅)
9	7, 8	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∩ 𝑆) = ∅ → ((𝑥 ∩ 𝑆) ⊆ (𝑛 ∩ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝑆) = ∅))
10	6, 9	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑛 → ((𝑛 ∩ 𝑆) = ∅ → (𝑥 ∩ 𝑆) = ∅))
11	10	necon3d 2815	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑛 → ((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
12	5, 11	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) → (𝑥 ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
13	12	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑥 → ((𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑥 ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
14	13	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ⊆ 𝑛 → ((𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
15	14	imp31 448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑛) ∧ (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) → (𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
16	15	rexlimivw 3029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐽 ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑛) ∧ (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) → (𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
17	4, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑛) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) → (𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
18	17	ex 450	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑛) → (∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
19	18	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑛)) → (∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
20	3, 19	syl6bi 243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
21	20	3adant2 1080	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
22	21	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
23	22	imp 445	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
24	23	ralrimiv 2965	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) → ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
25		opnneip 20923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
26		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 ∩ 𝑆) = (𝑥 ∩ 𝑆))
27	26	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ↔ (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
28	27	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
29		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑥) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
30	29	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑥) → (𝑆 ⊆ 𝑋 → ((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))
31	30	com14 96	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑥) → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))
32	28, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑥) → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))
33	32	ex 450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑥) → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))))
34	33	com3l 89	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑥) → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))))
35	25, 34	mpcom 38	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑥) → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))
36	35	3expia 1267	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑃 ∈ 𝑥 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))))
37	36	com25 99	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑃 ∈ 𝑋 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))))
38	37	ex 450	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ 𝐽 → (𝑃 ∈ 𝑋 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))))
39	38	com25 99	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ 𝑋 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑥 ∈ 𝐽 → (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))))
40	39	3imp1 1280	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑥 ∈ 𝐽 → (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
41	40	ralrimiv 2965	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
42	24, 41	impbida 877	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
43	2, 42	bitrd 268	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177  ∪ cuni 4436  ‘cfv 5888  Topctop 20698  clsccl 20822  neicnei 20901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-top 20699  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902

This theorem is referenced by:  islp2  20949  trnei  21696  flimclsi  21782