Theorem neindisj2 20927

Description: A point P belongs to the closure of a set S iff every neighborhood of P meets S. (Contributed by FL, 15-Sep-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpnei.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
neindisj2	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) -> ( P e. ( ( cls ` J ) ` S ) <-> A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) ) )

Distinct variable groups:   n, J   P, n   S, n   n, X

Proof of Theorem neindisj2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpnei.1	. . 3 |- X = U. J
2	1	elcls 20877	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) -> ( P e. ( ( cls ` J ) ` S ) <-> A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) )
3	1	isneip 20909	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( n C_ X /\ E. x e. J ( P e. x /\ x C_ n ) ) ) )
4		r19.29r 3073	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E. x e. J ( P e. x /\ x C_ n ) /\ A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) -> E. x e. J ( ( P e. x /\ x C_ n ) /\ ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) )
5		pm3.35 611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. x /\ ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) -> ( x i^i S ) =/= (/) )
6		ssrin 3838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x C_ n -> ( x i^i S ) C_ ( n i^i S ) )
7		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n i^i S ) = (/) -> ( ( x i^i S ) C_ ( n i^i S ) <-> ( x i^i S ) C_ (/) ) )
8		ss0 3974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x i^i S ) C_ (/) -> ( x i^i S ) = (/) )
9	7, 8	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n i^i S ) = (/) -> ( ( x i^i S ) C_ ( n i^i S ) -> ( x i^i S ) = (/) ) )
10	6, 9	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x C_ n -> ( ( n i^i S ) = (/) -> ( x i^i S ) = (/) ) )
11	10	necon3d 2815	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x C_ n -> ( ( x i^i S ) =/= (/) -> ( n i^i S ) =/= (/) ) )
12	5, 11	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. x /\ ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) -> ( x C_ n -> ( n i^i S ) =/= (/) ) )
13	12	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. x -> ( ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) -> ( x C_ n -> ( n i^i S ) =/= (/) ) ) )
14	13	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. x -> ( x C_ n -> ( ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) -> ( n i^i S ) =/= (/) ) ) )
15	14	imp31 448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P e. x /\ x C_ n ) /\ ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) -> ( n i^i S ) =/= (/) )
16	15	rexlimivw 3029	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. x e. J ( ( P e. x /\ x C_ n ) /\ ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) -> ( n i^i S ) =/= (/) )
17	4, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. x e. J ( P e. x /\ x C_ n ) /\ A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) -> ( n i^i S ) =/= (/) )
18	17	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. J ( P e. x /\ x C_ n ) -> ( A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) -> ( n i^i S ) =/= (/) ) )
19	18	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( n C_ X /\ E. x e. J ( P e. x /\ x C_ n ) ) -> ( A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) -> ( n i^i S ) =/= (/) ) )
20	3, 19	syl6bi 243	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) -> ( A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) -> ( n i^i S ) =/= (/) ) ) )
21	20	3adant2 1080	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) -> ( A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) -> ( n i^i S ) =/= (/) ) ) )
22	21	com23 86	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) -> ( A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) -> ( n i^i S ) =/= (/) ) ) )
23	22	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) /\ A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) -> ( n i^i S ) =/= (/) ) )
24	23	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) /\ A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) -> A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) )
25		opnneip 20923	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) )
26		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = x -> ( n i^i S ) = ( x i^i S ) )
27	26	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = x -> ( ( n i^i S ) =/= (/) <-> ( x i^i S ) =/= (/) ) )
28	27	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) /\ x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> ( x i^i S ) =/= (/) )
29		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. X /\ ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) /\ S C_ X ) -> ( ( x i^i S ) =/= (/) -> ( x i^i S ) =/= (/) ) )
30	29	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. X -> ( ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) -> ( S C_ X -> ( ( x i^i S ) =/= (/) -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) )
31	30	com14 96	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x i^i S ) =/= (/) -> ( ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) -> ( S C_ X -> ( P e. X -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) )
32	28, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) /\ x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> ( ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) -> ( S C_ X -> ( P e. X -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) )
33	32	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) -> ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) -> ( ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) -> ( S C_ X -> ( P e. X -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) ) )
34	33	com3l 89	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) -> ( ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) -> ( S C_ X -> ( P e. X -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) ) )
35	25, 34	mpcom 38	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) -> ( S C_ X -> ( P e. X -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) )
36	35	3expia 1267	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ x e. J ) -> ( P e. x -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) -> ( S C_ X -> ( P e. X -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) ) )
37	36	com25 99	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ x e. J ) -> ( P e. X -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) -> ( S C_ X -> ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) ) )
38	37	ex 450	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( x e. J -> ( P e. X -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) -> ( S C_ X -> ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) ) ) )
39	38	com25 99	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( S C_ X -> ( P e. X -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) -> ( x e. J -> ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) ) ) )
40	39	3imp1 1280	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) /\ A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) ) -> ( x e. J -> ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) )
41	40	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) /\ A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) ) -> A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) )
42	24, 41	impbida 877	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) -> ( A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) <-> A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) ) )
43	2, 42	bitrd 268	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) -> ( P e. ( ( cls ` J ) ` S ) <-> A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   ` cfv 5888   Topctop 20698   clsccl 20822   neicnei 20901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-top 20699  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902

This theorem is referenced by:  islp2  20949  trnei  21696  flimclsi  21782